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√2を括り出したいのですが、この計算は括弧を開いて行うしかありませんか?

「√2を括り出したいのですが、この計算は括」の質問画像

A 回答 (9件)

訂正です


{(1-√2)/2}^2=(3-2√2)/4
{(1+√2)/2}^2=(3+2√2)/4
だから
A={(1-√2)/2}(x+3+2√2)
B={(1+√2)/2}(x+3-2√2)
とすると
A+B=x-1
A-B=(-√2)(x+1)
だから

{(3-2√2)/4}(x+3+2√2)^2-{(3+2√2)/4}(x+3-2√2)^2
=A^2-B^2
=(A-B)(A+B)
=(-√2)(x+1)(x-1)
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{(1-√2)/2}^2=(3-2√2)/4


{(1+√2)/2}^2=(3+2√2)/4
だから
A={(1-√2)/2}(x+3+2√2)
B={(1+√2)/2}(x+3-2√2)
とすると
A+B=x+1
A-B=(-√2)(x-1)
だから

{(3-2√2)/4}(x+3+2√2)^2-{(3+2√2)/4}(x+3-2√2)^2
=A^2-B^2
=(A+B)(A-B)
=(-√2)(x+1)(x-1)
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違った(^-^;



(a+b)²+(a-b)²=2a²+2b²
(a+b)²-(a-b)²=4ab

を使う。
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(a+b)²+(a-b)²=a²+b²


(a+b)²-(a-b)²=4ab

を使う。
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被積分関数を f(x) と書きましょうか。


f(x) が 2次関数であることは一見して明らかです。
f(0) = ((3-2√2)/4)(3+2√2)² - ((3+2√2)/4)(3-2√2)²
  = (1/4){ (3²-(2√2)²)(3+2√2) - (3²-(2√2)²)(3-2√2) }
  = (1/4){ (3+2√2) - (3-2√2) }
  = √2,
f(1) = ((3-2√2)/4)(4+2√2)² - ((3+2√2)/4)(4-2√2)²
  = (3-2√2)(2+√2)² - (3+2√2)(2-√2)²
  = (3-2√2)(6+4√2) - (3+2√2)(6-4√2)
  = 2{ (3-2√2)(3+2√2) - (3+2√2)(3-2√2) }
  = 0,
f(-1) = ((3-2√2)/4)(2+2√2)² - ((3+2√2)/4)(2-2√2)²
  = (3-2√2)(1+√2)² - (3+2√2)(1-√2)²
  = (3-2√2)(3+2√2) - (3+2√2)(3-2√2)
  = 0
を計算すれば、f(x) の正体が
f(x) = c(x+1)(x-1), c = -√2
であることが判ります。
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そりゃ「この計算は括弧を開いて行う」には違いないんですが、めんどくさい計算はできるだけ後にする。

それには、 3±2√2 がやたら出てくるな、ということに目をつけて、
  u = 3
  v=2√2
  A = u+v
  B = u-v
とでも書くんです。すると、被積分関数f(x)は
  f(x) = (1/4) ( B(x+A)^2 - A(x+B)^2 )
  = (1/4) ( B(x^2) + 2BAx + B(A^2) - (A(x^2) +2ABx + A(B^2)) )
  = (1/4) (B-A) (x^2 - AB)
そして、
  B-A = (u-v) - (u+v) = -2v = -4√2
  AB = (u+v)(u-v) = u^2 - v^2 = 9 - 8 = 1
なので
  f(x) = -(√2)(x^2 - 1)
ということ。
(ところで、(x^2 - 1)を因数分解して(x+1)(x-1)にしたって、特に良いことはなさそうだけどな。)
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被積分関数は、係数「(3 - 2√2)/4、(3 + 2√2)/4」を前後に分けて


 (3/4){[(x + 3) + 2√2]^2 - [(x + 3) - 2√2]^2}    ①

 -[(2√2)/4]{[(x + 3) + 2√2]^2 + [(x + 3) - 2√2]^2}   ②
に分けられます。

①は
 (a + b)^2 - (a - b)^2
= [(a + b) - (a - b)][(a + b) + (a - b)]
= 4ab
を使って
 ① = 3(x + 3)・2√2 = (6√2)(x + 3)

②は
 (a + b)^2 + (a - b)^2
= 2(a^2 + b^2)
を使って
 ② = -(√2)[(x + 3)^2 + 8] = -(√2)(x^2 + 6x + 17)

よって、被積分関数は
 ① + ② = (6√2)(x + 3) - (√2)(x^2 + 6x + 17)
= (6√2)x + 18√2 - (√2)x^2 - (6√2)x ₋17√2
= -(√2)x^2 + √2
= -(√2)(x^2 - 1)
= -(√2)(x - 1)(x + 1)
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書きにくいので a=3 , b=2√2 と置きます。

非積分関数は
 (a-b)/4・(x+a+b)²-(a+b)/4・(x+a-b)²
 =(a/4){(x+a+b)²-(x+a-b)²}-(b/4){(x+a+b)²+(x+a-b)²}
 =(a/4){(x+a+b)+(x+a-b)}{(x+a+b)-(x+a-b)}-(b/4){(x+a+b)²+(x+a-b)²}

 =(a/4){2x+2a}2b - (b/4){(x+a+b)²+(x+a-b)²}
 =(b/2)[ 2a(x+a)-(1/2){(x+a+b)²+(x+a-b)²} ]
 =(√2)[ 2a(x+a)-(1/2){(x+a+b)²+(x+a-b)²} ]
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自分ならx+3をaと置いて括弧開いて計算します

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