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下記の証明をより分かりやすく説明頂けますと有難いです。

背理法で証明する。素因数分解不可能な正の整数が存在すると仮定する。その最小のものを n とする。
素数(および 1 )はもちろん素因数分解可能なので n は素数ではない。
よって,n は 1 より大きく n より小さい約数を持つ。よって n=ab ( a,b は 1 より大きく n より小さい正の整数)と表せる。

最小性の仮定より a と b は素数の積で表せる。よって n も素数の積で表せるので矛盾。
以上宜しくお願いします。

注)何と何が矛盾するのか、分かりやすく説明頂けますと有難いです。

A 回答 (10件)

簡便のための例示の細かいとこにツッコム人ですねぇ。



---
あるクラスの「男子」で一番背の低い生徒が太郎くんだったら、
太郎くんより背の低いクラスメイト[がいたとしたらそれ]は「女子」だというのは理解できますか?
--


太郎君より小さいクラスメイトがいたならば
そのクラスメイトが女子だということは理解できるんですね。

では、正の整数のすべてに赤か青の色が塗られていて
一番小さい青が100だったら、100より小さい99個の整数(1~99)が赤だってことも理解できるんじゃないですか?

素因数分解できない正の整数の中で一番小さいのがnだったら、
nより小さい正の整数は素因数分解できるのも理解できるんじゃないですか?
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この回答へのお礼

お世話になります。
お陰でこの証明方法の理解が進みました。
後、よく考えてみます。
丁寧親切な回答有難う御座いました。

お礼日時:2021/11/06 09:19

>下記の場合は、どうなるのでしょうか?


>n=1*10^20なる整数の場合

n = 2^20×5^20 だから仮定に反してます。
これに関して考えても無意味です。

実際は無いものを有ったら矛盾が導かれる
という戦略で証明するのですから
具体的な n で考えることはできません。
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この回答へのお礼

お世話になります。
>実際は無いものを有ったら矛盾が導かれる
という戦略で証明するのですから
具体的な n で考えることはできません。
<ーー参考になります。
既に証明済みの命題(定理)を
背理法で証明することは出来ると思いますが、新しい命題を
背理法で証明した事例があるのでしょうか?
回答有難う御座いました。

お礼日時:2021/11/05 17:18

「赤」は「青」より小さい番号と言う設定(宣言)は何処で行われているのでしょうか?




「青の中の一番小さいやつが100だったら」の部分ですね。
101や102やそれ以上の数の色が何色かはわかりませんが、
青の一番小さいのが100なら、1~99は赤です。



もし99が青なら、99が一番小さい青であって一番小さい青は100ではありません。
もし98が青なら、98が一番小さい青であって一番小さい青は100ではありません。
もし97が青なら、97が一番小さい青であって一番小さい青は100ではありません。


---
あるクラスの「男子」で一番背の低い生徒が太郎くんだったら、
太郎くんより背の低いクラスメイトは「女子」だというのは理解できますか?
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この回答へのお礼

お世話になります。
>あるクラスの「男子」で一番背の低い生徒が太郎くんだったら、
太郎くんより背の低いクラスメイトは「女子」だというのは理解できますか?
<ーー略、理解できますが、下記の場合があると思います。
つまり、『太郎くん』は男子、女子の全ての中において
最も背の低い生徒である場合も考えられると思います。
この私の考えは、間違いでしょうか?

以上、宜しくお願いします。

お礼日時:2021/11/05 18:21

あなたは、


-
すべての自然数に「赤」と「青」のどちらかの色が塗られているとして、
青の中の一番小さいやつが100だったら、1~99は「赤」だよね。
---
を理解できますか?
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この回答へのお礼

お世話になります。
丁寧な回答有難う御座います。
>すべての自然数に「赤」と「青」のどちらかの色が塗られているとして、
青の中の一番小さいやつが100だったら、1~99は「赤」だよね。
<ーーこの場合、「赤」は「青」より小さい番号と言う
設定(宣言)は何処で行われているのでしょうか?

以上、宜しくお願いします。

お礼日時:2021/11/05 10:15

無数にある、「正の整数」。


そん中には、
「素数の積で表すことのできる整数」と「できない整数」が混じっているかもしれない。
つまり、
できる整数もたくさんあるかもしれないし、
できない整数もたくさんあるかもしれない。

いま、たくさんあるかもしれない「できない整数」の中で一番小さいヤツをnをしてみよう(背理法の仮定)。
できない整数の中でnは一番小さいんだから、1から(n-1)までの整数はできるヤツ。

-
すべての自然数に「赤」と「青」のどちらかの色が塗られているとして、
青の中の一番小さいやつが100だったら、1~99は「赤」だよね。
---


----------------------------
あるいは、そもそも、
背理法の論理構成がわかっていないのか?

ある仮定をおく。
その仮定をもとに議論していくと、矛盾が生じる。
となると、その仮定が間違っているというほかない。
というのが、背理法の論理構成。


今回のは、「すべての整数はできる整数である」ということを示したいので、
「できないヤツがあるとする」と仮定した。
で、出来ないヤツが1個以上あるなら、その中の一番小さいヤツもあるだろ。
その一番小さいヤツをnと呼ぶ。
で、イロイロ考えてくと、変なことになった(矛盾した)
ということは「できないヤツがある」という仮定が間違っていたということ。
「できないヤツがある」が間違っているんなら「できないヤツはない」。


----
自然数aとbを足したら10になった。aかbのどちらかは5以上である。
なんてのを背理法で示すなら、
「aもbも4以下と仮定する」・・背理法の仮定
「aとbを足しても8以下にしかならない」・・・★
「足して10になるという前提に矛盾」
「だから仮定が間違っている」
「つまり、aかbは5以上である」
といった感じになるけど、
★の部分、2つの自然数aとbを足して8以下になるなんて証明済みの定理があるわけなくて、
「背理法の仮定のもとで」、この命題★は正しい。

元の問題でも、「できないヤツがある」という背理法の仮定のもとで、
・それなら一番小さいやつがある。
・その一番小さいヤツよりさらに小さいヤツはできるヤツである。
・だから・・・、
 という、構成になっている。
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この回答へのお礼

お世話になります。
>元の問題でも、「できないヤツがある」という背理法の仮定のもとで、
・それなら一番小さいやつがある。
・その一番小さいヤツよりさらに小さいヤツはできるヤツである。
・だから・・・、
 という、構成になっている。
<ーー『・その一番小さいヤツよりさらに小さいヤツはできるヤツである。』とは、具体的に表示可能でしょうか?
例えば、自然数の6,5,4,3,2と言う様に!
頭が固くて御免なさい

お礼日時:2021/11/05 09:44

nは、素数の積として表すことのできない数の中で一番小さいヤツ。


(大事なのは「一番小さいヤツ」という点)

ということは、
nより小さい正の整数(n-1以下の整数)は、素数の積として表すことができる。

aはnより小さい整数だから素数の積として表すことができる。
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この回答へのお礼

毎度お世話になります。
>nより小さい正の整数(n-1以下の整数)は、素数の積として表すことができる。
aはnより小さい整数だから素数の積として表すことができる。
<ーー『nより小さい正の整数(n-1以下の整数)は、素数の積として表すことができる。』
ここの所が解りません。この理論は、既に定理として
(証明すみ)として存在するのでしょうか?
お手数ですが宜しくお願いします。
注)背理法の最初の仮定の所にnに関する記述がありますが、私はその意味が理解できてないと思います。

お礼日時:2021/11/04 21:16

多分、『すべての正の整数は、素因数分解が可能(素数の積としてあらわすこと)』とかいうことを証明しないさいとかなんとか言われている、ってことなのかな?


細かくは、「1」についても問われているのかどうかが気になる(1は素数の積では表せられない。1を素因数分解可能というかというと疑問)のでとりあえずそれには触れないことにする。

すべての正の整数が「**できる」って言ってんだから、「もし、**できない正の整数があるとしたら」ってのが背理法のスタート。
というわけで「素因数分解できない正の整数があるとして、その中の一番小さいヤツをnとしたら」と書いてある。

で、nがどんな数かを細かく検討して、「そんなnなんて存在しないじゃん」という結論を導き出したい。

まず、nは1じゃぁないよね、と書いてある。
(上述した、触れないことにするとした点が大いに気になるが)
で、次にnは素数じゃないよね、と書いてある。
なんでかっていうと、nが素数なら1つの素数の積(?)としてあらわせるから。
で、最後にnが素数じゃないとしたらどうかを考えている。
素数じゃないってことは、1以外の約数があるってのが「素数じゃない」ことの定義なので、n=ab (aもbも1ではない)と書ける。
aやbは、nよりも小さい数だよね。
素数の積で表せないヤツの一番小さいのがnとしたので、nより小さいaやbは、素数の積で表せることになっちゃう。
aを素数の積 a=i*j*k
bも素数の積 b=l*m*n とすれば、
nは、 n=ab=i*j*k*l*m*n と書けちゃう。
nは素数の積で書けない数としたはずなのに、素数の積で掛けちゃったから、こいつは矛盾だよね。

この矛盾のそもそもの原因は、「素因数分解できない正の整数があるとして」が原因だから、結論として「そんな数はない」→「すべての正の整数は素数の積で表すことができる」(まぁ、ホントは2以上の整数だけど)
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この回答へのお礼

毎度お世話になります。
>aを素数の積 a=i*j*k
bも素数の積 b=l*m*n とすれば、
nは、 n=ab=i*j*k*l*m*n と書けちゃう。
<ーー上記のa,b,nの生成方法は理解できますが、
その様に書くことが出来る理由が私には解りません。
つまり、a=i*j*kと何故書くことが出来るのでしょうか?
以上、宜しくお願いします。

お礼日時:2021/11/04 18:28

>証明の中に命題と言う言葉が在りませんでした



「命題」と云う言葉が無くても、何を証明するかが 書いてあった筈です。

>素数(および 1 )はもちろん素因数分解可能なので、・・・

これが 変です。
「素数とは 1 と その数自体しか 約数を持たない」ので、
当然 素因数分解は出来ません。
あなたは「素因数分解不可能な正の整数を n 」としたのですから、
a=1, b=n 又はその逆 以外では、 n=ab には出来ません。
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この回答へのお礼

お世話になります。
丁寧な説明を頂きましたが、残念ながらまだ解りません。
『最小性の仮定より a と b は素数の積で表せる。』との
記述もありますが、これも不明です。
>あなたは「素因数分解不可能な正の整数を n 」としたのですから、a=1, b=n 又はその逆 以外では、 n=ab には出来ません。
<ーーこれが解りません
宜しくお願いします

お礼日時:2021/11/05 08:10

それでいいんですよ。


末尾に
「よって背理法により、素因数分解不可能な正の整数は存在しない。」
と付記すれば完璧です。
質問は何ですか?
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この回答へのお礼

お世話になります。
下記の場合は、どうなるのでしょうか?
n=1*10^20なる整数の場合
以上、宜しくお願いします。

お礼日時:2021/11/04 16:42

仮定:素因数分解不可能な正の整数が存在する(その最小のものを n とする)



n も素数の積で表せる

が矛盾しているので、仮定の「存在する」が誤りと思われます。
命題がなんであるか書いていただくと、もう少し詳しい説明ができるかもしれません。
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この回答へのお礼

お世話になります。
>命題がなんであるか書いていただくと、もう少し詳しい説明ができるかもしれません。
<ーー証明の中に命題と言う言葉が在りませんでしたので
書けませんでした。
この証明の場合の命題についてもお教え頂くと有難いです。
以上、宜しくお願いします。
これから、外出です。

お礼日時:2021/11/04 09:29

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