数学について

（2）について、積分区間内の絶対値をどう外せばいいか分かりません、場合分けすればいいですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/07 10:29

0 < t ≦ 1/2 と 1/2 < t ≦ 1 で場合分けして、

1/2 < t ≦ 1 のとき
F(t) = (1/t) ∫[0,(π/2)t] |cos(2x)| dx
　　= (1/t){ ∫[0,π/4] |cos(2x)| dx + ∫[0,(π/2)t] |cos(2x)| dx }
　　= (1/t){ ∫[0,π/4] cos(2x) dx + ∫[π/4,(π/2)t] -cos(2x) dx }
　　= (1/t){ { (1/2)sin(2(π/4)) - (1/2)sin(0) }
　　　　　　- { (1/2)sin(2(π/2)t) - (1/2)sin(2(π/4)) } }
　　= (1/t){ { (1/2) - 0 }
　　　　　　- { (1/2)sin(πt) - (1/2) } }
　　= { 2 - sin(πt) }/(2t),
0 < t ≦ 1/2 のとき
F(t) = (1/t) ∫[0,(π/2)t] |cos(2x)| dx
　　= (1/t) ∫[0,(π/2)t] cos(2x) dx
　　= (1/t){ (1/2)sin(2(π/2)t) - (1/2)sin(0) }
　　= sin(πt)/(2t).

(1)
lim[t→+0] F(t) = lim[t→+0] { sin(πt)/(πt) }(π/2) = π/2.

(2)
0 < t ≦ 1/2 かつ F(t) = sin(πt)/(2t) ≧ 1 となるのは、
sin(πt) ≧ 2t のとき。 これが成立するのは t = 1/2 のときのみ。
1/2 < t ≦ 1 かつ f(t) = { 2 - sin(πt) }/(2t) ≧ 1 となるのは、
sin(πt) ≦ 2 - 2t のとき。 これが成立するのは t = 1 のときのみ。
結局、 t = 1/2, 1.

y = sin(πx),
y = 2x,
y = 2 - 2x のグラフを描いて比較すると判る。

この回答へのお礼

一つ疑問なんですが
0 < t ≦ 1/2 かつ F(t) = sin(πt)/(2t) ≧ 1 となるのは、sin(πt) ≧ 2t のときで これが成立するのは 0<t≦ 1/2 ではないでしょうか

お礼日時：2021/11/07 10:52

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/07 11:54

(1) は合っている。

(2)
●1/2≦t≦1　のとき
　F(t)={1-(sinπt)/2}/t
なので F(t)≧1 の範囲は
　f(t)=1-(sinπt)/2-t≧0
の範囲となる。
　f'(t)=-(π/2)cosπt-1 , f''(t)=(π²/2)sinπt≧0
つまり、下に凸関数なので、f(t)は t=1/2,1 の両端の値以下となる。
　f(1/2)=f(1)=0
なので、結局、
　t=1/2, 1
の２点のみとなる。

●0<t≦1/2　のとき
　F(t)=(sinπt)/(2t) なので、
　F'(t)=πcosπt/(2t)-(sinπt)/(2t²)={cosπt/(2t²)}{πt-tanπt}
０<πt<π/2 → πt<tanπt なので
　F'(t)<0
つまり、F'(t)は狭義の単調減少。すると、(1)から F(+0)=π/2>1
なので、F(t)=1 が存在すれば、1点のみとなる。

そこで、
　F(t)=(sinπt)/(2t)=1
において、t=1/2 とすれば F(1/2)=1 となるので、求める範囲は
　0<t≦1/2

●まとめて
　0<t≦1/2 または　t=1

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2021/11/07 12:03

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/07 11:49

あ、ほんとだ。

そうだね。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2021/11/07 12:03

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/07 09:53

0<t≦1

0<πt/2≦π/2
0≦x≦πt/2≦π/2
0≦2x≦πt≦π

0≦x≦π/4の時cos(2x)≧0
π/4<x≦πt/2の時cos(2x)<0

F(t)
=(1/t)∫_{0～πt/2}|cos(2x)|dx
=(1/t){∫_{0～πmin(1,2t)/4}cos(2x)dx-∫_{πmin(1,2t)/4～πt/2}cos(2x)dx}
={1/(2t)}{[sin(2x)]_{0～πmin(1,2t)/4}-[sin(2x)]_{πmin(1,2t)/4～πt/2}}
={1/(2t)}{2sin(πmin(1,2t)/2)-sin(πt)}

0<t<1/2の時
F(t)={1/(2t)}sin(πt)

t=1/2の時
F(1/2)=1

1/2<t≦1の時
F(t)={1/(2t)}{2-sin(πt)}

この回答へのお礼

(1/t)∫_{0～πt/2}|cos(2x)|dx
=(1/t){∫_{0～πmin(1,2t)/4}cos(2x)dx-∫_{πmin(1,2t)/4～πt/2}cos(2x)dx}はなぜそうなるんですか？

お礼日時：2021/11/07 10:07

No.1 回答者： yasucosmos 回答日時： 2021/11/07 08:50

0<t<=1ですから積分区間は0<ｘ<=π/２となります。

この区間ではcos2xは負にはなりませんから絶対値はそのまま外せばよいです。

この回答へのお礼

cosπは負ではないですか？

お礼日時：2021/11/07 09:08