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お世話になります。wikiの3次方程式のページに判別式についての記述があります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1 …
紹介されている一つ目の判別式については有名だと思うのですが、3次方程式が重解を持つ場合、記載されている二つ目の判別式を用いて重解ともう一つの根の大小関係を調べることができるそうなのですが、この2つ目の判別式は教科書などに出ていてコンセンサスが取れているようなものなのでしょうか?そうでない場合、簡単に証明できるなら教えてもらいたいです。よろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

  • ご回答ありがとうございます。
    すみません、解を求めずに3次方程式の係数だけから解の特徴を知りたいと思っています。具体的には重解を持ち、その重解が残りの1つの実数解より大きいような3次方程式の係数の条件を調べたいと思っています。そのため、wikiのような判別式を使用したいです。

    教えて頂いた方法を参考に、以下の方法を考えてみました。
    解s+t, s, sについて、解と係数の関係を用いて、3つの等式を出したのち、tについて解く。
    tの符号を決める部分に着目することで、元の3次方程式の各係数が満たすべき条件を出す。

    実際この方法をpythonを用いて確認したのですが、wikiに載っているようなきれいな形にはできませんでした。
    もしご存じでしたら、wikiに記載の判別式の証明方法 or 代替法を教えて頂けないでしょうか?
    よろしくお願い致します。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/11/09 11:42
教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

No.1へのコメントについて。



pythonで一体何をやろうというんだろう?

(1) まずは
 (x - (s + t))(x - s)^2
を展開して
  a[3] x^3 + a[2] x^2 + a[1] x + a[0]
という形にする。これで、a[0], a[1], a[2], a[3] を s,tの多項式で表せた。

(2) a[0], a[1], a[2], a[3]を「二つ目の判別式」に代入し、展開して整理する。そしてその結果が
 2 t^3
になることを確認する。

これが証明方法です。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます!確認が取れました。ありがとうございます。

お礼日時:2021/11/09 13:36

三次方程式は判別式が0 の場合、実数の重解を持つ。

つまり方程式は
  (x - (s + t))(x - s)^2 = 0 (s, tは実数)
と因数分解できる。これを展開して「二つ目の判別式」に代入したものの符号が、tの符号と一致するかどうか。すなわち、a(t^(2n-1)) (a>0, nは正の整数)という格好になるかどうかを確認すればいいわけです。メンドくさそうだけど、難しくはないでしょう。
この回答への補足あり
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