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Tが同型写像であることの理由で「(T^-1)^(-1)=Tだから」としていました。これが言えたら同型写像であると言えるのはなぜですか?

教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

集合Xから集合Yへの写像


T:X→Y

全単射となる時
XとYの濃度が等しいといい
XとYは集合として同型といい
TはXからYへの(集合の)同型写像という

YからXへの写像
S:Y→X
が存在して
ST=1_X=(Xの恒等写像)
TS=1_Y=(Yの恒等写像)
となる時
SをTの逆写像といい
S=T^(-1)と表す

Tの対してその逆写像が存在すれば
逆写像の定義から
T^(-1)T=1_X=(Xの恒等写像)
TT^(-1)=1_Y=(Yの恒等写像)

成り立ち
逆写像T^(-1)の逆写像はT
(T^(-1))^(-1)=T

成り立ち

任意のy∈Yに対して
x=T^(-1)(y)
とすると
T(x)=T(T^(-1)(y))=y
となるから
Tは全射となる

a,b∈X
T(a)=T(b)とすると
T^(-1)(T(a))=T^(-1)(T(b))
a=b
となるから
Tは単射となるから

Tが全単射も成り立つから

Tは(集合の)同型写像である
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圏論だと、同型写像の定義は逆写の存在だけでいいからねえ。

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それだけで、同型写像は言えないと思います。



Tが同型写像を言うには、Tの逆写像T^(-1)に対して、T・T^(-1)= T^(-1)・Tが恒等写像を示せばよいです。
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それだけで「同型写像」としてるわけじゃない... よね?



さておき「同型写像」の定義は分かる?
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