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y=e^-x・sinx , y=0 (0≦x≦2π)
この直線、曲線で囲まれた面積を求めるという問題で、
解き方が全くわかりません。
解法を教えてください。

質問者からの補足コメント

  • S = F(π) - F(0) - { F(2π) - F(π) } は、どういった式なんですか?
    何か公式を用いているんですか?

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/11/14 23:11

A 回答 (4件)

#1です間違えました訂正します


y=e^{-x}sinx
y=0
(0≦x≦2π)

S=∫_{0~2π}|e^{-x}sinx|dx
F(x)=∫(e^{-x}sinx)dx
とすると

F(x)
=∫(e^{-x}sinx)dx
=-e^{-x}sinx+∫(e^{-x}cosx)dx
=-e^{-x}sinx-e^{-x}cosx-∫(e^{-x}sinx)dx
=-e^{-x}(sinx+cosx)-F(x)

2F(x)=-e^{-x}(sinx+cosx)
F(x)=-e^{-x}(sinx+cosx)/2

F(π)=e^(-π)/2
F(0)=-1/2
F(2π)=-e^(-2π)/2

S
=∫_{0~π}(e^{-x}sinx)dx-∫_{π~2π}(e^{-x}sinx)dx
=F(π)-F(0)-{F(2π)-F(π)}
=2F(π)-F(0)-F(2π)
=
{1+2e^{-π}-e^(-2π)}/2
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> S = F(π) - F(0) - { F(2π) - F(π) } は、どういった式なんですか?



∫[a,b] F’(x) dx = F(b) - F(a) が御不満かね?
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    • 2

まず、y = (e^-x)sin x と y = 0 を見比べて、


(e^-x)sin x = 0 となる x を求めます。
x = nπ (n は整数) ですが、
問題に 0≦x≦2π という制限が付いているので
x = 0, π, 2π だけですね。 この中で
最小のものが 0、最大のものが 2π ですから、
求めるべき面積は
S = ∫[0,2π] | (e^-x)sin x - 0 | dx  ←[1]
 = ∫[0,2π] (e^-x)|sin x| dx です。

あとは、被積分関数の中の絶対値を外すときに
0≦x≦π と π≦x≦2π の場合分けが発生します。
S = ∫[0,π] (e^-x)(sin x) dx + ∫[π,2π] (e^-x)(-sin x) dx
 = ∫[0,π] (e^-x)(sin x) dx - ∫[π,2π] (e^-x)(sin x) dx
となります。
後半の場合分けは、単なる計算上の手技ですから
[1] の立式とは区別して考えたほうが、話が明快になると思います。

不定積分 F(x) = ∫(e^-x)(sin x) dx をひとつ求めて、
S = F(π) - F(0) - { F(2π) - F(π) } を計算すればよいことになります。
部分積分を2回使って
F(x) = (-e^-x)(sin x) - ∫(-e^-x)(cos x) dx
  = - (e^-x)(sin x) + ∫(e^-x)(cos x) dx
  = - (e^-x)(sin x) + (-e^-x)(cos x) - ∫(-e^-x)(-sin x) dx
  = - (e^-x)(sin x) - (e^-x)(cos x) - ∫(e^-x)(sin x) dx
  = - (e^-x)(sin x) - (e^-x)(cos x) - F(x) + C {Cは任意定数}
なので、
F(x) = (1/2){ - (e^-x)(sin x) - (e^-x)(cos x) + C } です。
以後、 F(x) は C = 0 のものを使いましょう。

S = 2F(π) - F(0) - F(2π)
 = { - (e^-π)(sin π) - (e^-π)(cos π) }
  - (1/2){ - (e^-0)(sin 0) - (e^-0)(cos 0) }
  - (1/2){ - (e^-2π)(sin 2π) - (e^-2π)(cos 2π) }
 = (e^-π)
  - (1/2){ - (e^0) }
  - (1/2){ - (e^-2π) }
 = (e^-π) + (1/2) + (1/2)(e^-2π)
 = (1/2){ 1 + 2(e^-π) + (e^-2π) }
 = (1/2){ 1 + 1/e^π }^2.
この回答への補足あり
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y=e^{-x}sinx


y=0
(0≦x≦2π)

S=∫_{0~2π}(e^{-x}sinx)dx
とすると

S
=[-e^{-x}sinx]_{0~2π}+∫_{0~2π}(e^{-x}cosx)dx
=∫_{0~2π}(e^(-x)cosx)dx
=[-e^{-x}cosx]_{0~2π}-∫_{0~2π}(e^{-x}sinx)dx
=1-e^{-2π}-∫_{0~2π}(e^{-x}sinx)dx
=1-e^{-2π}-S

2S=1-e^{-2π}


S
=
(1-e^{-2π})/2
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この回答へのお礼

友達は、0~πとπ~2πのときでわけないといけないと言っていたのですが、わけなくていいんですか?

お礼日時:2021/11/14 21:37

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