「ブロック機能」のリニューアルについて

以下の問題が解けないので教えてほしいです.
(1)は固有値が2と‐1になると思いますが,ー1の時に固有ベクトルがx=a(aは実数),y=0になると思うのですが,この表現方法は適切でしょうか.(もし適切であれば,(2)の問題は対角化してA^nを求めてn=10を代入すればよいのですが・・・)
(3)については(ケーリー・ハミルトンの定理を用いるのかなと考えたのですが)検討が付かないので途中式も詳しくお願いしたいです.

「数学 線形代数 対角化」の質問画像
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A 回答 (2件)

(1)


1
0
で充分です。

(2)
固有ベクトル(縦ベクトル)を横に並べてできる行列をPとすると

D=P^(-1)AP
で対角化できます。

A^n={PDP^(-1)}^n=PD^nP^(-1)

(3)
(2)の式は実はnが整数でなくても成り立ちます。

n=1/3 で計算しましょう。
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この回答へのお礼

ご丁寧な解答ありがとうございます.
A^nの時は,毎回整数倍の問題しか解いたことなかったので,その固定観念にとらわれてました.

お礼日時:2021/11/22 13:21

補足しとくと、対角化行列


a 0
0 b

のn乗は

a^n 0
0 b^n

だから

a^(1/3) 0
0 b^(1/3)

の3乗は

a 0
0 b

だから

Q = PD^(1/3)P^(-1)
とすると
Q^3 =PDP^(-1) =A
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この回答へのお礼

理解しやすいように補足してくださりありがとうございます.
No1の方の答えと合わせて,すんなり理解することができました.

お礼日時:2021/11/22 13:23

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