三角比の不等式の問題です。 0°≦θ≦180°のとき、次の不等式を満たすθの値の範囲を求めよ。 解答

三角比の不等式の問題です。

0°≦θ≦180°のとき、次の不等式を満たすθの値の範囲を求めよ。
解答を読んでも理解できないので、詳しく解説して頂きたいです。

①√5sinθ-3＜0ㅤ(答え:0°≦θ≦180°)
②2cosθ-3＞0ㅤ(答え:解なし)

調べても、三角関数(0°≦θ≦360°)の問題しか出てこなくて…
図まで書いていただきたいです。よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/24 00:48

① (√5)sinθ - 3 < 0

→　(√5)sinθ < 3
→　sinθ < 3/√5 = (3√5)/5　　　①
ここで、
　3√5 > 3√4 = 6
なので、①は
　sinθ < 1
ということ。これなら「すべての θ に対して成り立つ」ということ。

0°≦θ≦180° なので、この範囲内で全て成り立つ。
従って
　0°≦θ≦180°

これは「すべての θ」という意味です。

② 2cosθ - 3 > 0
→　2cosθ > 3
→　cosθ > 3/2　　　　②

すべての θ に対して
　cosθ ≦ 1
ですから、②が成り立つはずがありません。
従って「解なし」です。

「0°≦θ≦180°」だとか「0°≦θ≦360°」が問題なのではなく
・すべての θ に対して成り立つ
とか
・すべての θ に対して成り立たない
という問題です。

No.2 ベストアンサー 回答者： 銀鱗 回答日時： 2021/11/24 01:34

その不等式が何を示しているのかを理解できていますか？

・・・
とりあえず、２について説明してみます。

質問の条件下で
　cosθ　
がとり得る値の範囲は分かりますか？
　-1～+1
の範囲ですよね？
これが分からないのであれば、なぜ分からないのかを自問してください。
そして分からない原因を明確にしたうえでその原因を改善しましょう。
…ということで、 -1～+1 の値を2倍して、3よりも大きくなるかい？
ならないだろ。
こうやって考えるのです。

で、１についても同様に考えてみましょう。
質問の条件下で
　sinθ　
がとり得る値の範囲は、
　0～+1
の範囲。
これも分からないのであれば、なぜ分からないのかを自問してください。
そして√5倍し、3より小さくなるのはどの範囲？
あとは√5が2.236067977（富士山麓オオム鳴く）という事が分かっていれば解ける。

そんなわけで、cosθ や sinθ 単体での値がいくつになれば条件を満たすのかを考えましょう。
そのために数式を作ったり変形したりするのです。
数式をいじれば解けると思っちゃダメ。
サラッと解いてしまう人も、実は頭の中ではこんな事を考えながら数式を並べているのです。
（逆にこんなことを考えずに数式を並べている人は、間違えていてもその間違えに気づかない）

・・・
これを数式を示して説明すると前の回答者さんのようになるのですが、
調べても分からないという事は、
数式で何を示しているのかを理解できていないということですので、
数式を見ただけでは分からないと思います。