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問題とその解答なんですが、なぜCではなくP(順列)を使い計算すると不都合があるんですか?

「確率の問題について」の質問画像
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A 回答 (4件)

No.1 です。



順列を使ったら、
・2n から「赤1」「赤2」「赤3」を取り出す順列は
 (2n)P(3)
・そのうち、「赤1~3」の順番は問わないということなら、「3つの並べ方:3!」で割って
 (2n)P(3)/(3!)
となって、これは
 (2n)C(3)
に一致します。

全体を順列を使って解くなら、
・k回目に「赤1」を引いて、残り「2n - k」回に「赤2」「赤3」を引く順列は(ただし、2n - k ≧ 2)
 (2n - k)P(2)
・従って、k回目に「赤1」を引く確率は
 p1(k) = (2n - k)P(2) / (2n)P(3)
同様に、k回目に「赤2」を引く確率は
 p2(k) = (2n - k)P(2) / (2n)P(3)
k回目に「赤3」を引く確率は
 p3(k) = (2n - k)P(2) / (2n)P(3)

よって、k回目に「赤」を引く確率は
 p(k) = p1(k) + p2(k) + p3(k)
   = 3(2n - k)P(2) / (2n)P(3)

従って、Bが勝つ確率は
 p = p(2) + p(4) + ・・・ + p(2n-2)
  = Σ[i=1~n-1]p(2i)
  = [3/(2n)P(3)]Σ[i=1~n-1]{(2n - 2i)P(2)}
  = [3/(2n)P(3)]Σ[k=1~n-1]{(2k)P(2)}
ここで、
 (2k)P(2) = (2k)!/(2k - 2)!
     = 2k(2k - 1)
 3/(2n)P(3) = 3/[(2n)!/(2n - 3)!]
      = 3/[(2n)(2n - 1)(2n - 2)]
なので
p = {3/[(2n)(2n - 1)(2n - 2)]}Σ[k=1~n-1]{(2k)(2k - 1)}   ①


一方、画像で示された「組合せ」で求めたものは
 p = [1/(2n)C(3)]Σ[k=1~n-1]{(2k)(2k - 1)/2}
であり、
 1/(2n)C(3) = 1/{(2n)!/[(2n - 3)!3!]}
      = 6/[(2n)(2n - 1)(2n - 2)]
なので
p = {6/[(2n)(2n - 1)(2n - 2)]}Σ[k=1~n-1]{(2k)(2k - 1)/2}
 = {3/[(2n)(2n - 1)(2n - 2)]}Σ[k=1~n-1]{(2k)(2k - 1)}   ②

ということで、①は②に一致しますよ?
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2021/11/25 16:00

順列を使っても答は出るか?



出ます。

nCr=nPr/rPr=nPr/r!

だから。

#1さんのおっしゃるように、出てきたものの並び順は考えないのだったらrPr=r!で割ればよいですよね。
分母分子をr!で割っていて、それが明示されていないと思えば良いです。
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この回答へのお礼

順列で考えた場合例えばk回目に赤1を引く確率は
 p1(k) = (2n - k)P(2) / (2n)P(3)となるらしいですが、このような場合白の配置は考えてないんですか?

お礼日時:2021/11/25 16:18

a, b, c から 2つ選ぶ場合、順番を区別すれば、


ab, ac, bc, ca, cb, ba の 6通りですね、
順番を区別しなければ、ab, ac, bc の 3通りです。

従って 順列を使って計算したときは 同じグループになった
組合せを 排除しなければなりません。
それが 組み合わせの式です。
上の例では、順列の半分が組合せですが、
問題によっては もっと複雑になる場合があります。
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「白玉」「赤玉」はどれをとっても区別しない、どんな順番で取り出しても「色が同じなら同じとみなす」ということだからでしょう?

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この回答へのお礼

順列を使っても問の答えは出ますか?

お礼日時:2021/11/25 10:54

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