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基底であることを証明するとき、n次以下の多項式が作るベクトル空間を考えます。このとき、b1,b2,…,b(n+1)∈(上のベクトル空間)であるとき、これら(b1とかです)が基底になることを証明したいとき、どうすればいいのでしょうか。

質問者からの補足コメント

  • 例えば、任意の数a1、a2、…、a(n−1)とxで、b1=(x+a2)×(x+a3)×…×(x+a(n+1))のように表し、つまり、bmが、Π(x+ak)÷(x+am)(←kが1からn+1まで)と表されるときは、どのように、C1=C2=…=0を示せばよいのでょうか。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/11/26 00:33

A 回答 (2件)

基本的、概念的な質問が、


何だか途中から具体的な計算に変わっているようですが...

とりあえず、補足の例では「任意の数 a1,a2,…,a(n+1)」について
b1,b2,…,b(n+1) が一次独立になるわけではありません。
a1,a2,…,a(n+1) の中に値が同じものがあったら、例えば
i ≠ j, ai = aj となる i, j が在ったら、bi と bj が同じ多項式になるので
b1,b2,…,b(n+1) は一次独立でなくなります。
「n+1個の異なる数 a1,a2,…,a(n+1)」についてなら、
b1,b2,…,b(n+1) は一次独立です。

それを示すには、「一次独立」の定義に沿って、
定数 c1,c2,…,c(n+1) によって
(c1)b1(x)+(c2)b2(x)+…+c(n+1)b(n+1)(x) = 0  …[1]
が(恒等的に)成り立つならば、
c1 = c2 = … = c(n+1) = 0 である  …[2]
を示せばよいことになります。

各 bi(x) {i=1,2,…,n+1} に x = -am {m=1,2,…,n+1} を順に代入すれば、
m ≠ i のとき bi(-am) = 0,
m = i のとき bi(-am) = Π[k=1,2,…,n+1かつk≠i](- am + ak) ≠ 0
となります。 これを使うと
[1] に x = -am を代入したものが、簡単な式 (cm)bm(-am) = 0 となります。
両辺を bm(-am) で割れば [2] が得られます。
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「基底」の特徴づけは、書き方にバリエーションがあります。


線形代数の教科書で、初めて基底が出てくる章を確認してください。
わりと扱い易いのは、基底は一次独立な生成系だということです。
「生成系」と「一次独立」の定義も教科書で確認しましょう。
n次以下の多項式のうち任意のものが、その b1,b2,…,b(n+1) の
定係数一次結合で表せることと、
b1,b2,…,b(n+1) の定係数一次結合 (c1)b1+(c2)b2+…+c(n+1)b(n+1)
が = 0 であれば c1 = c2 = … = 0 であることを示せばよいです。
この回答への補足あり
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