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なぜ-1からの区間で評価すると判断できるんですか?

「積分の問題について」の質問画像
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A 回答 (3件)

上図と下図の赤の面積は同じ2a_nです

「積分の問題について」の回答画像2
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2021/11/28 08:40

自然数nに対して


非負整数kに対して
2k-1≦x≦2k+1の時
↓各辺に2nを加えると
2n+2k-1≦2n+x≦2n+2k+1

0<2n+2k-1≦2n+x
↓各辺を(2n+2k-1)(2n+x)で割ると
0<1/(2n+x)≦1/(2n+2k-1)…(1)

0<2n+x≦2n+2k+1
↓各辺を(2n+2k)(2n+x)で割ると
0<1/(2n+2k+1)≦1/(2n+x)
↓これと(1)から
1/(2n+2k+1)≦1/(2n+x)≦1/(2n+2k-1)
↓各辺をx=2k-1~2k+1まで積分すると
2/(2n+2k+1)≦∫_{2k-1~2k+1}{1/(2n+x)}dx≦2/(2n+2k-1)

∫_{2k-1~2k+1}{1/(2n+x)}dx≦2/(2n+2k-1)
↓k=1~nまで加えると
Σ_{k=1~n}∫_{2k-1~2k+1}{1/(2n+x)}dx≦2Σ_{k=1~n}1/(2n+2k-1)

∫_{1~2n+1}{1/(2n+x)}dx≦2a_n…(2)

2/(2n+2k+1)≦∫_{2k-1~2k+1}{1/(2n+x)}dx
↓k=0~n-1まで加えると
2Σ_{k=0~n-1}1/(2n+2k+1)≦Σ_{k=0~n-1}∫_{2k-1~2k+1}{1/(2n+x)}dx
2Σ_{j=1~n}1/(2n+2j-1)≦∫_{-1~2n-1}{1/(2n+x)}dx
2Σ_{k=1~n}1/(2n+2k-1)≦∫_{-1~2n-1}{1/(2n+x)}dx

2a_n≦∫_{-1~2n-1}{1/(2n+x)}dx

↓これと(2)から

∫_{1~2n+1}{1/(2n+x)}dx≦2a_n≦∫_{-1~2n-1}{1/(2n+x)}dx
「積分の問題について」の回答画像3
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太線部分の総面積を求めようとしています。


その太線部分の面積は、個々に「-1」の範囲にある、
と説明されています。
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この回答へのお礼

anはブロック上の面積で積分の値は曲線によって囲まれた面積で、例えばan<-1から2n-1積分区間の値
はなぜ成立するんでしょうか
ブロックの面積と積分の値について-1から0からの積分区間の部分はブロックが大きく、他は積分区間の方が小さいと思うんですが

お礼日時:2021/11/27 15:04

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