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【微分について】
y=x^xの微分で、対数微分法が使われていたのですが、両辺自然対数をとるとき、yが負になる場合は考えなくて良いのでしょうか?(x=-3のときy=1/-27<0など)

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A 回答 (3件)

実 a^b は a > 0 の範囲で定義されるので、


x < 0 の範囲での x^x は x が実数であっても複素冪乗関数です。
log をとればややこしいことになるのは最初から判っています。
等式は、ある (x,y) の近傍でしか成立しなくなり、
異なる (x,y) に対しては、分岐を意識しながら接続しないとなりません。
そのことは、 y < 0 の場合に限った話ではなく、 x > 0, y > 0 でも
面倒事が起こるのは避けられません。
だから、大数微分法なんておかしなギミックを使うのはやめて、
素直に y = u^v, u = x, v = x で合成関数の微分をすればいいのです。
u^v が複素冪乗関数である以上、分岐の問題が発生するのは同じですが、
式面上は波風立てずに計算が進みます。
dy/dx = (∂y/∂u)(du/dx) + (∂y/∂v)(dv/dx)
   = (v u^(v-1)) 1 + ((u^v) log u)1
   = (u^v)(1 + log u)
   = (x^x)(1 + log x).
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x<0だとyが実数にならない場合がほとんど。


yが実数であるとしてしまうとx<0では離散的にしか値が存在しなくなり、そもそも微分ができない。
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複素関数とみるなら問題ないだろうし, 実関数とみるなら「その辺での微分ができない」から問題ない.

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