【高校物理】 Ｑ．とある波動の問題で、sin5°, sin10°, ･･･, sin90°の値が載っ

【高校物理】
Ｑ．とある波動の問題で、sin5°, sin10°, ･･･, sin90°の値が載った「三角関数法(有効数字4桁)」と、「補間法」を用いて、sin16°を求める必要がある問い(有効数字3桁)に当たりました。解説を見ると、
　　sin16°＝sin15°＋(sin20°－sin15°)/(20°－15°)
とありました。これが問題文にもあるような「補間法」なのだと思いますが、ネットで調べて見ると｢線形補間法｣というものを見つけました。
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　関数 y＝f(x) が2点 (x₁,y₁) (x₂,y₂) を通るとき、この2点を通る線分で近似する方法を線形補間法という。
　　y＝{(y₂－y₁)/(x₂－x₁)}(x－x₁)＋y₁
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解説文の式も、この線形補間法と同じ形をしているので、恐らくそうなのでしょうが、もし大学受験で「補間法」を用いるよう言われた時、それは「線形補間法」というものを使えと捉えて良いものなのでしょうか。
もちろん、今回のような5°単位のように幅が小さくないと用いてはいけませんよね…？

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/12/09 16:38

> 大学受験で

　そんな問題が出るんかしら？というのはさておき。

　必要な精度がその線形補間で出るかどうかチェックして、もし精度不足なら他の補間法（たとえば2次以上のラグランジュ補間とか、テイラー展開とか）を検討する。

というのが本来の（真っ当な）使い方です。

　ラグランジュの1次補間法は、線形補間法のこと。「y = f(x)のグラフが(x1,y1), (x2,y2)を通る」という情報を使って、x1＜x＜x2であるxについて
　　f(x) ≒ y1 (x-x2)/(x1-x2) + y2 (x-x1)/(x2-x1)
と計算する。右辺はxの1次式ですね。右辺をちょっと変形すれば、ご質問にある式と一致することがわかるでしょう。
　たとえばラグランジュの3次補間だと
　　「y = f(x) のグラフが(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4,y4) を通る」という情報を使って、x2＜x＜x3であるxについて
　　f(x) ≒ y1 (x-x2)(x-x3)(x-x4) / ((x1-x2)(x1-x3)(x1-x4)) +
　　　　y2 (x-x1)(x-x3)(x-x4) / ((x2-x1)(x2-x3)(x3-x4)) +
　　　　y3 (x-x1)(x-x2)(x-x4) / ((x3-x1)(x3-x2)(x3-x4)) +
　　　　y4 (x-x1)(x-x2)(x-x3) / ((x4-x1)(x4-x2)(x4-x3))
と計算する。右辺がxの3次式になっていることにご注意。（分母はあらかじめ計算しておける定数です。）この補間法ですと、sin(-25°),sin(0°),sin(25°),sin(50°)の4点の情報で、ご質問の1次補間と同等程度の精度が出ます。
　一般にラグランジュのn次補間法は、グラフが通るn+1個の点が分かっているという情報を使って、n次式で補間するわけです。

この回答へのお礼

当問題は早稲田大のものです…m(_ _)m
　なるほど、ラグランジュ補間というのがあるのですね。形からして因数定理でたくさんくっつけて行く感じでしょうか、名前もかっこよいので覚えておきます！
　具体例に加えて精度の問題にもお答え頂き、ありがとうございました m(_ _)m

お礼日時：2021/12/10 13:48

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/10 12:44

>もし大学受験で「補間法」を用いるよう言われた時、

>それは「線形補間法」というものを使えと捉えて
>良いものなのでしょうか。

「大学受験で」というのは知りませんが、何も補完法
の指定が無いならば、線形補完でよいかもしれません。
明らかに誤差てんこ盛りになりそうなシチュエーションでは
駄目だと思いますが・・・

実用的には1次、2次とラグランジュ補完を順に試していって
よさそうなのを選ぶと思う。

この回答へのお礼

私も補間法というのを今までで初めて目にしたので、次出会う時も線形補間程度であることを願います…。
　回答ありがとうございました m(_ _)m

お礼日時：2021/12/10 13:49