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この微分方程式を解く時に、y≠1のとき、とするのはなぜですか?

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A 回答 (4件)

Cのもとは ±e^C 、Cは任意、です。


すると 0≦|C|<∞の範囲で、0<e^C<∞ となりますが、e^C=0
となるCは存在しないから。
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y=1も-1も解だよ。


余りにも自明(当たり前)だから、問題作成側がそれを「除外して答えろ」と言ってるわけ。
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y=±1は、解である。


y≠±1の時、y'/(1-y^2)=1を解く
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変形すると


 dy/(1-y²)=dx
となり、変数分離で解くことができる。しかし、このとき、
 y≠±1
となっていないと、式が意味をなさないためである。

これを解くと一般解は
 y=(Ce^2x - 1)/(Ce^2x + 1) , C≠0・・・・・①
ところが
 y=±1
を元の式に入れると、これも式を満たすので解(特異解)である。①
で、C=0 とすると、y=-1 となる。

そこで、C=0も含めて
 y=(Ce^2x - 1)/(Ce^2x + 1) , Cは任意定数
および
 y=1
を一般解と呼ぶ(らしい)。
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この回答へのお礼

①でC≠0としているのはなぜですか。

お礼日時:2021/12/11 21:46

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