この微分方程式を解く時に、y≠1のとき、とするのはなぜですか？

この微分方程式を解く時に、y≠1のとき、とするのはなぜですか？

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/12/11 22:19

Cのもとは　±e^C 、Cは任意、です。

すると 0≦|C|<∞の範囲で、0<e^C<∞　となりますが、e^C=0
となるCは存在しないから。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/12/11 21:09

y=1も-1も解だよ。

余りにも自明(当たり前)だから、問題作成側がそれを「除外して答えろ」と言ってるわけ。

No.2 回答者： akari31 回答日時： 2021/12/11 20:44

y=±1は、解である。

y≠±1の時、y'/(1-y^2)=1を解く

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/12/11 20:41

変形すると

　dy/(1-y²)=dx
となり、変数分離で解くことができる。しかし、このとき、
　y≠±1
となっていないと、式が意味をなさないためである。

これを解くと一般解は
　y=(Ce^2x - 1)/(Ce^2x + 1) , C≠0・・・・・①
ところが
　y=±1
を元の式に入れると、これも式を満たすので解（特異解）である。①
で、C=0 とすると、y=-1 となる。

そこで、C=0も含めて
　y=(Ce^2x - 1)/(Ce^2x + 1) , Cは任意定数
および
　y=1
を一般解と呼ぶ（らしい）。

この回答へのお礼

①でC≠0としているのはなぜですか。

お礼日時：2021/12/11 21:46