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高校数学の問題です。ネットで見つけた問題で答えが見つからなかったので質問します。(模試の過去問らしいです)

全ての実数で定義された関数(cは実数)
f(x)=1-x^2+cx^4 g(x)=1/(1+x^2) がある。

(1)x=tanθと置換して∮(-1→1) 1/(1+x^2)dxを求めよ。(-1から1まで1/(1+x^2を定積分)
(2)f(x)≧g(x)が常に成立するような実数cの値の最小値を求めよ。
(3)cの値が(2)のとき、2直線x=-1、x=1と2曲線y=f(x)、g(x)で囲まれる領域の面積を求めよ。

という問題です。
答え合わせがしたいので途中式無しで解答のみでも大丈夫です!早かった方をベストアンサーとします。
よろしくお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (1件)

(1)


 ∫[-1,1] dx/(1+x²)=2∫[0,π/4] (dθ/cos²θ) 1/(1+tan²θ)
  =2∫[0,π/4]dθ=π/2

(2)
 f(x)-g(x)={(1-x²+cx⁴)(1+x²)-1}/(1+x²)
したがって、上式の分子が0以上の範囲を求めればよい。
 (1-x²+cx⁴)(1+x²)-1=x⁴{(c-1)+cx²}≧0
したがって
 h(x)=(c-1)+cx²≧0

このとき、c≦0 ならば c-1≦-1<0, cx²≦0 なので、h(x)<0 は明か。
したがって、c>0
つぎに、c≧1 とすると h(x)≧0 は自明。

そこで、0<c<1 とすると x²=(1-c)/(2c) (>0) となる xが存在して
 h(x)=c-1+(1-c)/2=(c-1)/2<0
となって、条件を満たさない。まとめると、
 c≧1
のとき、常に f(x)≧g(x) となる。

(3)
 ∫[-1,1] (f(x)-g(x))dx
   =2[x-x³/3+cx⁵/5][1,0] - 2[tan⁻¹x][1,0] ・・・f,gとも偶関数
   =2(1-1/3+c/5)-π/2
   =4/3+2c/5-π/2
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この回答へのお礼

endlessriverさん再びありがとうございます!
途中式までありがとうございます。
ベストアンサーです。

お礼日時:2021/12/12 17:40

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