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画像の式の①からdθ=として、②になるまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。

「画像の式の①からdθ=として、②になるま」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 仮にdx=10⁻⁵、dy= 10⁻¹⁰
    の場合は画像の2つの式のdθは同じ値になるでしょうか。

    どうかよろしくお願い致します。

    「画像の式の①からdθ=として、②になるま」の補足画像1
      補足日時:2021/12/13 09:21
  • また、最初の質問に載せた②の式と、こちらに載せました赤い①の式( y'(x+dx)=tan(x+dx)とする。 )もdθとすると同じ式になるのでしょうか。
    どうかよろしくお願い致します。

    「画像の式の①からdθ=として、②になるま」の補足画像2
      補足日時:2021/12/13 16:18
  • 編集致しました。

    また、最初の質問に載せた②の式と、こちらに載せました赤い①の式( y'(x+dx)=tan(θ+dθ)=tanθ+dtanθ=dy/dx+(d^2y/dx^2)*dx、y'(x)=tanθ=dy/dxとします。 )もdθとすると同じ式になるのでしょうか。
    どうかよろしくお願い致します。

    「画像の式の①からdθ=として、②になるま」の補足画像3
      補足日時:2021/12/13 16:31
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A 回答 (9件)

最初の②の式は書きかえると


dθ/dx=y’’/(1+y’²)・・・(1)
つまりθをxで微分した微分係数がy’’/(1+y’²)だよ
と言っているわけです。ところがこれは
y’=tanθの両辺をxで微分して
y’’=d(tanθ)/dθ・(dθ/dx)=(1+tan²θ)・dθ/dx
  =(1+y’²)dθ/dx となるのでこれから(1)が出ます。
むしろこのようにするのが普通なのですが
①から②のように先に説明したように導くのも間違いではありませんが
(1)の微分係数を求めるための形式的なやり方ととらえてください。
だからdx、dθ等は形式的な単なる記号に過ぎず、これに具体的数値を
入れて議論するのは意味を持たず、これを無限小計算と呼ぶこともありません。
このように微分計算するのに普通はいろんな微分法の公式があって
それを用いて計算するので、ぼくは無限小記号を用いた計算法には
あまり明るくないです。
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No.7へのコメントについてです。



> 何を表しているのでしょうか?

 ご質問への回答を表している、という以外に、さて何を期待なさっているんでしょうかね?
 No.7を言い換えますと:
[1] マル(1)の式はデタラメであって論外、箸にも棒にも掛からない。
[2] マル(2)は、式の体裁は整っている。しかしその成否は、x,y,θが何を意味するかに依るのであり、すなわちご質問が一体どういう文脈で出てきたのかに依る。その肝心の文脈を(本来なら質問者がキチンと説明した上で質問すべきところなのですが、全く書いてないので、)勝手に推測してみた。その推測が正しいとすると、マル(2)は正しい
という回答です。逆に言えば「マル(2)が正しい式になるようなx,y,θの意味」が存在することを証明したわけです。

> また、なぜ=1と出た事で②が成り立っているとわかったのでしょうか?

 両辺にdθを(形式的に)掛け算してみてもわからんですかね。(そうだとすると、この話に手を出すのは時期尚早、ってことでしょう。)
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ご質問のマル(1)の式はそもそも意味をなしていませんで、救いようがないと思う。

しかしマル(2)の式は(少なくとも形式上は)意味をなしている。

 ところで、推察するに パラメータθを使って単位円上の点P=(x,y)を
  x = cosθ
  y = sinθ
と表した、という話でしょうかね。もしそうなら、全部θで表すと明快。
  dx/dθ = -sinθ
  dy/dθ = cosθ
であり、
  dy/dx = (dy/dθ)/(dx/dθ) = -cotθ
で、
  ((d/dx)^2)y = (d/dx)(dy/dx)
  = -((d/dθ)cotθ)/(dx/dθ)
  = (1/(sinθ)^2)/(-sinθ)
  = -1/(sinθ)^3
そこで、マル(2)の右辺をdθで割ったものを計算すると、
  (dx/dθ) ( ((d/dx)^2)y / (1 + (dy/dx)^2) )
  = (-sinθ) ((-1/(sinθ)^3) / (1+ (cotθ)^2) )
  = (-(sinθ)^3)((-1/(sinθ)^3)
  = 1
となって、マル(2)は確かに成り立っている。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、回答して頂いた内容は何を表しているのでしょうか?また、なぜ=1と出た事で②が成り立っているとわかったのでしょうか?
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2021/12/16 14:00

ごめんなさい。

有限項+無限小の項=有限項はあてはまるばあいと
そうでない場合があります。
勇み足失礼。
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この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます。
ちなみに、今回のdx,dyに値を代入する話は低次の無限小と無限小計算のどちらになるのでしょうか?
また、低次の無限小と無限小計算に関してそれぞれ計算例を教えて頂けるでしょうか。

お礼日時:2021/12/13 19:53

赤丸の①ですがΔθをdθとおくなら


Δxもdxとおくことになる。
すると①の分子は=y’(x+dx)-y’(x)=y’’(x)dx
またy’(x+dx)=y’(x)+y’’(x)dxなので
分母は=1+y’(x)²+y’(x)y’’(x)dxとなるが
これの最終項は他の二項に対して無限小なのでこれを省略すれば
結局最初の①といまの①は同じになります。
このように低次の無限小+高次の無限小=低次の無限小
有限項+無限小の項=有限項というのが無限小計算の原則の一つです。
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本題


普通に計算して
-y’²dθ+y’’dx-y’y’’dxdθ=dθが出てくる。
ここでdxdθは無限小の2次の量だから左辺の第三項は
他の無限小の一次の項よりもさらに小さいとみなして省略するのが
無限小の混じっているこの手の計算のやり方です。

あと極小と言っても0でない有限値を使うのであれば
でてくる結果は近似値でしかありません
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この回答へのお礼

syotaoさん、どうもありがとうございます。
出来れば編集した質問にもお答えしていただけるとありがたいです。

なるほど、dとついている時点で無限に小さい値しか扱えないならば数値を代入してdθを求める事はできないし、仮に出来てもdのついた変数が省略されている可能性もあるため同じ値になる事はないとわかりました。

お礼日時:2021/12/13 17:11

本題については既に回答が出たようですが、そのお礼コメントにあった「極小(≒微小?)であれば良いとかでは?」について言うと、補足にあったような「10^(-5)」のように具体的な数値が書いてある時点で「微小」とは言えません。

それがどんなに小さな値であったとしてもダメです。本来は「無限小」が来るべき所なので。
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本題については


①の右辺の分母を払って両辺に出てくるdy/dxを消して
さらにdxとdθの積の項を消してdθについて解く。
補足については
No.1さんのとおりです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
では、①は②になるのですね!
ならば、どうか簡略化でも構わないので計算過程を教えて頂けないでしょうか。

また、NO1さんの通りとの事ですが、極小であれば良いとかではないのでしょうか?
どうか詳しくお願い致します。

お礼日時:2021/12/13 16:12

取りあえず補足にあった質問についてですが、そもそもdxやdθに具体的な数値を当てはめる事自体が間違っていると思います。

dxやdθはxやθの微小変化を表すものですから「値」に当たるものは無限小であって有限の数値にはならないはずです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
出来ればもう一つの質問に答えて頂けるとありがたいです。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2021/12/13 12:18

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