画像の式が積分より2πになるのはわかるのですが、iはどうやって出てきたのでしょうか？

画像の式が積分より2πになるのはわかるのですが、iはどうやって出てきたのでしょうか？

No.7 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/14 03:47

r>0

∳_{|z|=r}(a/z)dz

z=re^(iθ)
とすると
dz=rie^(iθ)dθ
a/z=(a/r)e^(-iθ)
だから
∳_{|z|=r}(a/z)dz
=∳_{0～2π}(a/r)e^(-iθ)rie^(iθ)dθ
=∳_{0～2π}aidθ
=ai∳_{0～2π}dθ
=ai(2π)
=2πia

この回答へのお礼

どうもありがとうございます！

お礼日時：2021/12/22 01:09

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/13 21:16

因みに

コーシ一の積分定理と周回積分公式はここ
https://ymiyashitablog.com/complex-function-cauc …

質問の式の具体的な周回積分や、より一般的な周回積分公式
も載ってます。

これは留数定理、ラプラス変換による線形微分方程式の解法に繋がってて
制御工学や回路理論に欠かせない数学の基礎になってます。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/13 15:57

r>0

∳_{|z|=r}(1/z)dz

z=re^(iθ)
とすると
dz=rie^(iθ)dθ
1/z=(1/r)e^(-iθ)
だから
∳_{|z|=r}(1/z)dz
=∳_{0～2π}(1/r)e^(-iθ)rie^(iθ)dθ
=∳_{0～2π}idθ
=i∳_{0～2π}dθ
=i2π
=2πi

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。
式によってはn=-1の時に2πiだけでないのですよね？

お礼日時：2021/12/13 19:59

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/13 15:47

これは複素平面上で原点を含む領域を周回積分した結果ですね。

かなり酷い情報不足。

・コーシーの積分定理(グルサの定理)
・留数定理

を検索しよう。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/12/13 14:13

＞どんな式であれn=-1 のときは必ず2πiなのでしょうか？

詳しくは 私の能力外ですから、
「複素数の積分」で 検索してみて。
https://slpr.sakura.ne.jp/qp/complexfunction-memo/
https://physkorimath.xyz/complex-analysis1/

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2021/12/13 13:52

f(z)=(z-α)^n では ないですか。

これなら n=-1 のとき ∫{1/(z-α)}dz=2πi ですね。
公式の 一種なのでは。
詳しくは 私の能力外ですから、
「複素数の積分」で 検索してみて。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
どんな式であれn=-1 のときは必ず2πiなのでしょうか？

お礼日時：2021/12/13 13:57

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/12/13 11:30

>>画像の式が積分より2πになる

なんで？　logzだろ。

重要なzの前提式を提示せず、隠して置いて、馬鹿言うな！