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AC=b,図のようにDやE、内心Iなどを置きます
三角形の外角の二等分線をB'などと置くとき、AB0が図の上のように表せるらしいんですが、三角形の相似などを使って下の等式を導けたんですがそれ以降が分かりません

「図形問題について」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • AB=c,BC=aなどとおいています
    回答よろしくお願いします

      補足日時:2021/12/14 12:51
  • AB0とB0B'は垂直です

      補足日時:2021/12/14 13:21
  • 2つの三角形で相似の式を立てる以外に必要な事はあるでしょうか

      補足日時:2021/12/14 14:16
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A 回答 (2件)

|AB0|=|AB'|cos{(π-α)/2}=|AD|=b-(y+d)


だから
|AB0|=|AD|=b-(y+d)…(1)

b-y=y(y+d)/{b-(y+d)}
↓両辺にb-(y+d)をかけると
{b-(y+d)}(b-y)=y(y+d)
{b-(y+d)}b-{b-(y+d)}y=y(y+d)
↓両辺に{b-(y+d)}yを加えると
{b-(y+d)}b={b-(y+d)}y+y(y+d)
{b-(y+d)}b={b-(y+d)+(y+d)}y
{b-(y+d)}b=by
↓両辺をbで割ると
|AD|=b-(y+d)=y
↓これと(1)から
|AB0|=y…(3)

y=|CI|cos(γ/2)=|CP|
だから
y=|CP|…(4)

b-y=|AI|cos(α/2)=|AR|
だから
b-y=|AR|…(5)

|BP|=|BI|cos(β/2)=|BR|
だから
|BP|=|BR|…(6)

(5)から
b=y+|AR|…(7)
c=|AR|+|BR|…(8)
a=|BP|+|CP|
↓(4),(6)から
a=|BR|+y
↓これと(7),(8)を加えると
a+b+c=2y+2|AR|+2|BR|
↓左右を入れ替えると
2y+2|AR|+2|BR|=a+b+c
↓両辺を2で割ると
y+|AR|+|BR|=(a+b+c)/2
↓|AR|+|BR|=cだから
y+c=(a+b+c)/2
↓両辺に-cを加えると
y=(a+b+c)/2-c
↓これと(3)から

|AB0|=(a+b+c)/2-c
「図形問題について」の回答画像2
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2021/12/14 18:03

B'からACへの垂直点をDとする


△ABCの
内心をIとして,
内接円と
BCの接点をP
ACの接点をQ
ABの接点をR
α=∠BAC
γ=∠ACB
とする

|AB0|=|AB'|cos{(π-α)/2}=|AD|
だから
|AB0|=|AD|…(1)

|AD|/|B'D|=tan(α/2)=|IQ|/|AQ|
だから
|AD|/|B'D|=|IQ|/|AQ|
↓両辺に|B'D||AQ|をかけると
|AD||AQ|=|B'D||IQ|…(2)

|CD|/|B'D|=tan(γ/2)=|IQ|/|CQ|
だから
|CD|/|B'D|=|IQ|/|CQ|
↓両辺に|B'D||CQ|をかけると
|CD||CQ|=|B'D||IQ|
↓これと(2)から
|AD||AQ|=|CD||CQ|
↓|AQ|=|AC|-|CQ|だから
|AD|(|AC|-|CQ|)=|CD||CQ|
|AD||AC|-|AD||CQ|=|CD||CQ|
↓両辺に|AD||CQ|を加えると
|AD||AC|=|AD||CQ|+|CD||CQ|
|AD||AC|=(|AD|+|CD|)|CQ|
↓|AC|=|AD|+|CD|だから
|AD||AC|=|AC||CQ|
↓両辺を|AC|で割ると
|AD|=|CQ|…(3)

|CQ|=|CI|cos(γ/2)=|CP|
だから
|CQ|=|CP|…(4)
|AQ|=|AI|cos(α/2)=|AR|
だから
|AQ|=|AR|…(5)
|BP|=|BI|cos(β/2)=|BR|
だから
|BP|=|BR|…(6)
b=|AC|=|CQ|+|AQ|
↓(5)から
b=|CQ|+|AR|…(7)
c=|AB|=|AR|+|BR|
だから
c=|AR|+|BR|…(8)
a=|BC|=|BP|+|CP|
↓(4),(6)から
a=|BR|+|CQ|
↓これと(7),(8)を加えると
a+b+c=2|CQ|+2|AR|+2|BR|
↓左右を入れ替えると
2|CQ|+2|AR|+2|BR|=a+b+c
↓両辺を2で割ると
|CQ|+|AR|+|BR|=(a+b+c)/2
↓|AR|+|BR|=cだから
|CQ|+c=(a+b+c)/2
↓両辺に-cを加えると
|CQ|=(a+b+c)/2-c
↓これと(3)から
|AD|=(a+b+c)/2-c
↓これと(1)から

|AB0|=(a+b+c)/2-c
「図形問題について」の回答画像1
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この回答へのお礼

前にそう教えて頂きましたが上の考えで足りない式などありますか?

お礼日時:2021/12/14 13:50

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