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選択肢が(a,b,c)である三択問題が14問あります。
全問回答すると、正答数がわかります。
*1問正解を1点とする

この状況で、どんな回答の方法であれば
最低回数の試行で全問正解がわかりますか?


---
例えば下記のような感じです。


■三択問題が1問の時

・1回目の試行
回答をaをする

 正解の時→終了
 不正解の時→選択肢を変えて再試行

・2回目の試行
回答をbとする

 正解の時→終了
 不正解の時→残りの選択肢cが正解なので終了


Ans.2回の試行で全問正解が分かる。

■三択問題が2問の時

・1回目の試行
回答をa,aをする

 2問正解の時→全問正解で終了
 1問正解の時→選択肢を変えて再試行 2.1へ
 全問不正解の時→選択肢を変えて再試行 2.0へ

・2回目の試行
 2.1 回答をa,bとする

 2問正解の時→全問正解で終了
 1問正解の時→残りの選択肢a,cが正解なので終了


 2.0 回答をb,bとする

 2問正解の時→全問正解で終了
 1問正解の時→選択肢を変えて再試行する?
 
  これまでの経緯a,aで0点,b,bで1点

  次の回答をb,cと仮定すると

 2問正解の時→全問正解で終了
 1問正解の時→全問正解となる残りの選択肢がないのでb,cが1点となることはない
 全問不正解の時→全問正解となる残りの選択肢がないのでb,cが全問不正解とはならない

  となるので、この時点で全問正解はb,cと分かる。

 全問不正解の時→残りの選択肢c,cが正解なので終了


Ans.2回の試行で全問正解が分かる。


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三択問題が3問以上となってくると場合分けが多くて
抜け漏れやダブリが出てしまいそうで考えられずにいます。



最終的には
【n択問題がm問の場合、x回の試行で全問正解出来る】という形で
一般化出来る気がするのですが、ここまで抽象度が高いと
私の理解力ではついていけないので

とりあえず、
三択問題が14問がx回の試行、という形での正解が欲しく
それを足がかりに一般化式も理解したいと思ってます。


よろしくお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

まずは3択で、「第k問:第k問のアタリはa,b,cのどれかである。

さあどれだ?」というナンギな問題ばっかりがk=1〜mのm問あるという場合を考えてみましょうか。
 一度は試行しなきゃ始まらない。どう答えたっていいんですが、話を簡単にするため、全問に"a"と答えることにしましょう。この試行によって何問がアタリだったかがわかる。これを「アタリ数」としましょう。たまたま、アタリ数=mということもあり得るわけです。が、それは生じなかったという場合に:
 k問目だけを"b"にして、他は全問"a"と答える、という試行を行ったとします。(kはどれでもいい。)すると、
(1) アタリ数が1減る。  ∴k問目のアタリは"a"
(2) アタリ数が1増える。 ∴k問目のアタリは"b"
(3) アタリ数が変わらない。∴k問目のアタリは"c"
の3つの場合が生じる。k=1〜mのそれぞれについてこの操作を行えば、最初の1回を合わせて都合m+1回の試行ですべての問題のアタリが確定する。(もちろん、たまたま「h+1〜mまで全部、アタリが"a"」という場合には、h+1回目の試行をした時点でその事がワカルから(どうやればワカルか考えてみてくださいな)、続ける必要はない。h=0ということもあり得るわけです。
 以上から、2〜3択の場合、最大でも(m+1)回、最小では1回の試行で終わる。では期待値はどうなるか。それは(何を等確率とするか、ということを決めた上で、)「h+1~mまで全部、アタリが"a"」となるhの期待値を考えるってことですから、簡単。
 n≧4択以上の場合には、(3)のケースが生じたときに「k問目のアタリは"a"でも"b"でもない」とだけわかるので、(n-2)択の話に帰着する。だから「n択の場合に(3)が生じる確率P(n)」を考えておけば良いということです。
 あとはご自分で楽しまれれば宜しいのではないかな。
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質問の意図が不明確です。



>全問回答すると、正答数がわかります。

正当した「数」が分かるのか、それとも「どれが正解で、どれが不正解か」がわかるのか。

>どんな回答の方法であれば
最低回数の試行で全問正解がわかりますか?

最低回数は「1回」に決まっています。全問正答すればよいのですから。
そもそも、「正解が分かっている問題」に答えるなら「確率」という概念は適用できません。

ということは、何を求めたいのでしょうか?
「平均で何回の施行が必要か」(試行回数の期待値)でしょうか?

***************

各回ごとに「どれが正解で、どれが不正解か」が分かり、求めたいものが「平均で何回の施行が必要か」(試行回数の期待値)ということだとすると、全問題に対してまったく「分からず」にランダムに回答する(要するに鉛筆を転がして回答する)と仮定した場合、各問題について
・1回で正答する確率:1/3
・1回で正答しない確率は 2/3 だが、これで2回目を行なえば必ず正解が分かるので、回答回数の期待値は
 1 * (1/3) + 2 * (2/3) = 5/3 回

これが14問あれば、各問題間に相関がないと仮定して
 (5/3)^14 ≒ 1276 回
かな?
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