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ガウスの法則について質問です。

球体の表面積を使った証明からQクーロンの点電荷から4ΠkQ本の電気力線が出ることはわかります。

なぜこれが点電荷以外の場合でも成り立つと言えるのでしょうか?

A 回答 (3件)

1.


電荷密度 q(r)を考えます。 r=<x,y,z>のベクトル表示で関数
 q(r)=q(x,y,z)
を示す。

すると r'=<x',y',z'>の位置の微小体積 dv' の電荷 q(r')dv' によって
rの位置の電界は
 dE(r)=(1/4πε₀) q(r')dv'(r-r')/|r-r'|³ ・・・・・①
となる。

ここで、体領域Vとその表面Sを考える。全空間をAとする。S上の点を
r、空間の任意の点を r' で表すと、全空間の電荷による、S上の電界は
重ね合わせの原理から①を r' で積分して
 E(r)=(1/4πε₀) ∫[A] q(r')dv'(r-r')/|r-r'|³
   =(1/4πε₀) ∫[V] q(r')dv'(r-r')/|r-r'|³
     +(1/4πε₀) ∫[A-V] q(r')dv'(r-r')/|r-r'|³
となる。

つぎに、S面上のE(r)の積分を、積分順序を交換して
 ∲[S]E(r)・dS=(1/4πε₀) ∫[V] {∲[S]q(r')(r-r')・dS/|r-r'|³}dv'
        +(1/4πε₀) ∫[A-V] {∲[S]q(r')(r-r')・dS/|r-r'|³}dv'

  =(1/4πε₀) ∫[V] q(r'){∲[S](r-r')・dS/|r-r'|³}dv'
    +(1/4πε₀) ∫[A-V] q(r'){∲[S](r-r')・dS/|r-r'|³}dv' ・・・②
ここで、Sの積分については r'は定数なので、q(r')は積分から出した。


2.
ここで、積分内の積分
 Ω=∲[S](r-r')・dS/|r-r'|³
は立体角で
 Ω=4π (r'∈V) , 0(r'∈A-V) ・・・・③
となる。すると②は
 ∲[S]E(r)・dS=(1/4πε₀) ∫[V] q(r'){4π}dv'
      +(1/4πε₀) ∫[A-V] q(r'){0}dv'
    =(1/ε₀) ∫[V] q(r')dv'=Q/ε₀

ここで、QはV内の全電荷となり、ガウスの法則が導かれる。

3.
③の結果であるが、ベクトル解析の考察から導かれる。
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/GaussSolid …

上のサイトには立体角と超関数の関係も示されている。
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簡単に言えば、点電荷でない場合でも点電荷として扱えるからです。

点電荷でない場合の電荷密度はデルタ関数を使って

ρ(ri)δ(ri)

などと現す事ができます。そしてそれぞれの電荷を閉曲面内で合計した

Σρiδ(ri)⊿Vi
i

と言うのは、デルタ関数の積分が1になるので結局

∫ρdV

と言う事になります。
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電荷を連続体とみなす場合、体積素を点電荷とみなして


積分形式に拡張できるから。

閉領域内の湧き出し=領域から外へ出て行く量
は純粋に数学の定理で「ガウスの発散定理」
と呼ばれるベクトル解析の定理。

これを電荷のクーロンの法則にあてはめたのが
電荷と電場に関するガウスの法則。
質量と重カ場でも同形式のガウスの法則が成立します。

電荷=水の湧き出しロ、電場=水の流れ
と考えると、成立しない方が不自然です。
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