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={√(x^2+y^2)}{x/√(x^2+y^2)+iy/√(x^2+y^2)}
からどうやって
{x/√(x^2+y^2)}^2+{y/√(x^2+y^2)}^2
にしたのでしょうか?
過程の計算を教えて頂けますか?

教えて!goo グレード

A 回答 (5件)

z=x+iy


x,yは実数
r=√(x^2+y^2)
θ=arg(z)=arg(x+iy)
とすると

z
=x+iy
=r(cosθ+isinθ)

e^(iθ)=cosθ+isinθ
だから

z=re^(iθ)
「={√(x^2+y^2)}{x/√(x^」の回答画像5
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arg(z)



複素数zの偏角(実軸からの反時計まわりの角度(ラジアン))という意味なのです
arg(z)=θ
とするという事は

zの偏角(実軸からの反時計まわりの角度(ラジアン))をθとするという意味なのです

tでもθでもαでも他の変数名と異なれば何でもよいのです
「={√(x^2+y^2)}{x/√(x^」の回答画像4
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z=x+iy


x,yは実数
r=√(x^2+y^2)
arg(z)=arg(x+iy)=θ
とすると

z
=x+iy
=r(cosθ+isinθ)

e^(iθ)=cosθ+isinθ
だから

z=re^(iθ)
「={√(x^2+y^2)}{x/√(x^」の回答画像3
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
最後に、なぜarg(z)=arg(x+iy)=θに関して、
arg(z)あるいはarg(x+iy)はθと置けるのでしょうか?
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2021/12/22 12:25

z=x+iy


x,yは実数
X=x/√(x^2+y^2)
Y=y/√(x^2+y^2)
とすると

X^2+Y^2
={x/√(x^2+y^2)}^2+{y/√(x^2+y^2)}^2
=x^2/(x^2+y^2)+y^2/(x^2+y^2)
=(x^2+y^2)/(x^2+y^2)
=1
だから
(X,Y)は単位円周上の点だから
t=arg(X+iY)
とすると
X+iY=cost+isint
X=cost
Y=sint
だから
x/√(x^2+y^2)=X=cos(t)
y/√(x^2+y^2)=Y=sin(t)
となる
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
理解力が乏しくてすいません。

x/√(x^2+y^2)をXとおいたのはわかります。しかしなぜcos(t)と置けるのかわかりません。
y/√(x^2+y^2)=Y=sin(t)に関しても同じでございます。
多分r=√(x^2+y^2)であるため、
x/rがcos(t)と置けたのかなと考えています。
だとしたら、
x/√(x^2+y^2)=cos(t)
y/√(x^2+y^2)=sin(t)
と最初において頂いた方がわかりやすかったかなと思います。わがまま言ってすいません。

ちなみに(t)はθではダメなのでしょうか?

どうかよろしくお願い致します。
また、t=arg(X+iY)に関してargは複素数を表す際に使うことは調べてわかったのですが、
argは何を表しているのでしょうか?t=arg(X+iY)は別表現の式で表せるでしょうか?

お礼日時:2021/12/22 08:53

={√(x^2+y^2)}{x/√(x^2+y^2)+iy/√(x^2+y^2)}


から
{x/√(x^2+y^2)}^2+{y/√(x^2+y^2)}^2
にしたのではありません
誤解されたので書き方を変えます

z=x+iy
x,yは実数
とすると
{x/√(x^2+y^2)}^2+{y/√(x^2+y^2)}^2
=x^2/(x^2+y^2)+y^2/(x^2+y^2)
=(x^2+y^2)/(x^2+y^2)
=1

だから
x/√(x^2+y^2)=cos(t)
y/√(x^2+y^2)=sin(t)
となる
tが存在するから

z
=x+iy
={√(x^2+y^2)}{x/√(x^2+y^2)+iy/√(x^2+y^2)}
={√(x^2+y^2)}{cos(t)+isin(t)}
だから

r=√(x^2+y^2)
とすると

z=r{cos(t)+isin(t)}

e^(it)=cos(t)+isin(t)
だから

z=re^(it)
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この回答へのお礼

あの、申し訳ありません。
なぜ{x/√(x^2+y^2)}^2+{y/√(x^2+y^2)}^2
=x^2/(x^2+y^2)+y^2/(x^2+y^2)
=(x^2+y^2)/(x^2+y^2)
=1
だから
x/√(x^2+y^2)=cos(t)
y/√(x^2+y^2)=sin(t)
となるのでしょうか?

お礼日時:2021/12/21 22:22

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