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E[X] や V[X] がわかっているとき、√X の期待値の求め方を教えてください。

質問者からの補足コメント

  • X は確率変数です。

      補足日時:2021/12/24 13:49
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A 回答 (6件)

No.2 です。



>もちろん X≧0 です。

ああ、そうですか。だったらそう書いてもらわないと。

>X は必ずしも確率変数とは限りません。

んん? 何か、話が変わっていませんか?
「補足」には「X は確率変数です」と書いてありますよ?


定義どおりに計算すれば
V[X^2] = (1/n)Σ(i=1~n){xi^2 - E[X^2]}^2
    = (1/n)Σ(i=1~n){xi^4 - 2xi^2*E[X^2] + (E[X^2])^2}
    = (1/n)Σ(i=1~n)xi^4 - 2E[X^2]*(1/n)Σ(i=1~n)xi^2 + {E[X^2]}^2
    = E[X^4] - {E[X^2]}^2
で、
 E[X^2] = {E[X]}^2 + V[X]
なので
 V[X^2] = E[X^4] - ({E[X]}^2 + V[X])^2
     = E[X^4] - {E[X]}^4 - 2{E[X]}^2*V[X] - {V[X]}^2

あらたに「X^4 の期待値」を求めれば、E[X], V[X] から V[X^2] は求まりますけどね。

結局、何が既知で、何を求めたいということなのですか?
きちんと正確に書いてください。
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この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。個人的な疑問なので、何が既知であれば求めることができるかよくわからない状態で質問しました。

お礼日時:2021/12/24 23:51

>E[X] や V[X] がわかっているとき、


(いろいろ略)
>φ(x) を具体的に求める

そんな方法はありません。
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V[√X] =E[X] - E[√X]^2 ≧ 0


より
√E[X] ≧ E[√X]
ぐらいしか言えないでしょう。
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確率変数Xが確率密度関数φ(x)に従うものとして、単調な関数f(つまり逆関数が存在する関数)によって


  Y = f(X)
と変換して得られる確率変数が従う確率密度関数をξ(y)とします。fの逆関数をg
  X = g(Y)
とし、dg/dy をg'と書くことにすると、
  ξ(y) = φ(g(y)) g'(y)
となる。期待値E[Y]はもちろん
  E[Y] = ∫ yξ(y) dy(積分範囲は-∞〜∞)
 さて、ご質問の場合、
  Y = √X
すなわち
  g(y) = y^2
  g'(y) = 2y
というところは良いのだけれども、肝腎のφ(x)が未知である。期待値E[X]と分散V[X]だけじゃ確率密度関数は決まらないんで、そこで行き止まりです。

 確率密度関数が有限個のデータに基づく経験分布(だから正確には確率質量関数)である場合でも同様で、(他の回答にもあるように)E[X]とV[X]だけじゃどうにもなりません。
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この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。個人的な疑問なので、何が既知であれば求めることができるかよくわからない状態で質問しました。
φ(x) を具体的に求めるにはどうすれば良いでしょうか?

お礼日時:2021/12/24 23:54

観測値の √x の平均ではなく、分布としての E[√X] ということですか?


いずれにせよ、の場合には
 x≧0, X≧0
でなければ √x, √X は定義できません。

ひょっとして、求めたいのは
 √{E[X]}
ではありませんか?

そうであれば、分散 V[X] を求める式として
 V[X] = E[X^2] - {E[X]}^2
というものがありますので、これを変形すれば
 E[X^2] = V[X] - {E[X]}^2
従って
 √{E[X]} = √(V[X] - {E[X]}^2)
ということになります。
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この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。もちろん X≧0 です。正確には E[X] と V[X^2] が既知のとき、E[√X] を求めたいのです。X は必ずしも確率変数とは限りません。
あるいは、E[X]やV[X]などからV[X^2]を求める方法でも良いので教えてください。

お礼日時:2021/12/24 15:28

> E[X] や V[X] がわかっているとき、


ならば、Xの値も分かるので、√Xも分かります。
√X の値は唯一なので、期待値とは言いません。
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