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質問失礼します。
積分に関する問題ですが、この式を証明する方法が思いつきません。ご教授頂けると幸いです。

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A 回答 (3件)

これは、アクロバットのような方法を使うので有名です。



まずは
 I = ∫∫[-∞→∞]e^[-(x^2 + y^2)]dxdy
という二重積分を考えます。(x、y とも積分範囲は[-∞→∞])

これを極座標に変換すると
 x = r*cosθ, y = r*sinθ
で、r:0→∞、θ:0→2π で積分することになります。

被積分関数は
 e^[-(x^2 + y^2)] = e^(r^2)
また、ヤコビアンは
 |(∂x/∂r)(∂y/∂θ) - (∂y/∂r)(∂x/∂θ)| = r
なので
 dxdy = rdrdθ
であり

I = ∫∫[-∞→∞]e^[-(x^2 + y^2)]dxdy
 = ∫[0→2π]{∫[0→∞]re^[-(r^2)]dr}dθ
 = 2π∫[0→∞]re^[-(r^2)]dr

ここで、t = e^[-r^2] とおくと
 dt = -2re^[-r^2]dr → re^[-r^2]dr = -(1/2)dt
 t:1→0
なので
 ∫[0→∞]re^[-(r^2)]dr
= ∫[1→0](-1/2)dt
= (1/2)∫[0→1]dt
= 1/2

以上より
 I = ∫∫[-∞→∞]e^[-(x^2 + y^2)]dxdy = π    ①
になります。

一方、
 e^[-(x^2 + y^2)] = e^(-x^2)・e^(-y^2)
なので
 I = ∫∫[-∞→∞]e^(-x^2)・e^(-y^2)]dxdy
  = ∫[-∞→∞]{e^(-x^2)・∫[-∞→∞]e^(-y^2)dy}dx   ②  
かつ
  = ∫[-∞→∞]{e^(-y^2)・∫[-∞→∞]e^(-x^2)dx}dy   ③
ここで、
 ∫[-∞→∞]e^(-x^2)dx = N   ④
とすれば、変数名を変えただけなので
 ∫[-∞→∞]e^(-y^2)dy = N   ⑤
であり、②③④⑤より
 I = N^2
ということになります。
 
以上より、①から、N>0 なので
 N = ∫[-∞→∞]e^(-x^2)dx = √π
となり、被積分関数が偶関数であることから
 N = 2∫[0→∞]e^(-x^2)dx = √π
よって
 ∫[0→∞]e^(-x^2)dx = (√π)/2
となります。
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この回答へのお礼

とんでもなく難しい方法を使用するのですね…
ご回答ありがとうございました!!

お礼日時:2021/12/29 23:32

問題の積分を2乗したものを考える、というのがトリック。


 (∫{0〜∞}(e^(-x^2)) dx)^2
  = ∫{0〜∞}(e^(-x^2)) dx ∫{0〜∞} (e^(-y^2)) dy
  = ∫{0〜∞}∫{0〜∞} (e^(-x^2))(e^(-y^2)) dx dy
  = ∫{0〜∞}∫{0〜∞} e^(-(x^2+y^2)) dx dy
これを極座標(r,θ)に変換するんです。すると
  ∫{0〜∞}r (e^(-r^2)) dr
ならt=r^2の置換で簡単。
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