３次元における、ベクトルに平行な平面の方程式

解決済

質問者：honisu
質問日時：2005/03/17 08:56
回答数：3件

ベクトルｂに平行な平面の方程式は、一般的にどのように表されますか？教えてください。

よろしくお願いいたします。

通報する

この質問への回答は締め切られました。

質問の本文を隠す

このQ&Aに関連する最新のQ&A

「3次元」に関するQ&A： 3次元極座標から2次元極座標への発散の変換（θ=π/2）

回答 (3件)

ベストアンサー優先
最新から表示
回答順に表示

No.3ベストアンサー

回答者： Nikkou
回答日時：2005/03/18 08:59

3次元における平面Pのベクトル方程式は、法線ベクトルを用いるのが一般的です。

これは、Ｐに対して垂直なベクトルです。
法線ベクトルをｎとして、平面Ｐ(これをある条件を満たす点Ｐ(位置ベクトルｐ）の集合と考える）上の定点をＡ(位置ベクトルａ）としたとき、　
ｎ・(ｐ－ａ）＝０
というのが、3次元での平面のベクトル方程式です。

ご質問では、ｂに平行な平面となっていますので、まずｂに垂直なベクトルを１つ求めればよいのです。(ｂに垂直なベクトルは法線ベクトルです）

- 1
- 件

通報する

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

通報する

お礼日時：2005/04/01 07:12

No.2

回答者： Milk2005
回答日時：2005/03/17 15:32

ベクトルｂと平面の交点の位置ベクトルはｋｂ（ｋはスカラー、ｂはベクトル）と表せるので、ベクトルｘがｂ・（ｘ－ｋｂ）=０を満たしていればよいです。

ベクトルｂに平行な平面の方程式、といわれているので、ベクトル方程式の形で示したほうが良いかと思いました。

- 0
- 件

通報する

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

通報する

お礼日時：2005/04/01 07:11

No.1

回答者： sunasearch
回答日時：2005/03/17 09:42

ベクトルv(v1,v2,v3)

平面の方程式ax+by+cz=1

v1*a+v2*b+v3*c=0を満たすa,b,cであれば何でも良い。

あと、ベクトルが通る１点と、もうひとつ平面が含むベクトルがわかれば、平面が１つに決まります。
ご質問の条件からは、「方向」だけがわかっているので、その方向の直線を軸に回転可能な平面が、空間中を自由に動ける状態です。

- 0
- 件

通報する

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

通報する

お礼日時：2005/04/01 07:11

このQ&Aに関連する人気のQ&A

「3次元」に関するQ&A： 3次元座標2点からの直線式の求め方

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう！

質問する（無料）

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

専門家回答数ランキング

専門家

※過去一週間分の回答数ランキングです。

質問する（無料）

他の専門家の回答をチェック

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q平面の交線の方程式

２平面の交線の方程式はどうやって求めるのですか？

例で適当に問題を作ってみたんで教えてください
x-y+3z-1=0,x+2y-z-3=0

どなたか教えていただけませんか？

Aベストアンサー

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

＞x-y+3z-1=0・・・・（１）
＞x+2y-z-3=0・・・・（２）とおきましょう。
（１）（２）より、連立方程式を解いて、ｘ、ｙ、ｚをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

（１）×２　2x-2y+6z-2=0
（２）　　　x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
　　　　　　3x+5z-5=0
　　　　　　x=-5(z-1)/3・・・・（☆）

（１）　　　x-y+3z-1=0
（２）×３　3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
　　　...続きを読む

他の回答も見る

Q二平面の交線の方程式

二平面の交線の方程式

(1)二平面 x+2y-z-4=0 と x-y+2z-4=0 の交線の方程式を求めよ。
(2)(1)の交線と点(0,1,0)とを通る平面の方程式を求めよ。

解答よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

（１）ｘ＋２ｙ－ｚ－４＝０
ｘ－ｙ＋２ｚ－４＝０
をｘ，ｙの連立方程式として解くと
ｘ＝－ｚ＋４　（ｚ＝-ｘ＋４）
ｙ＝ｚ
よって-x+4=y=z

（２）　（－１，１，１）はこの交線の方向ベクトル
　　　（４，０，０）はこの交線上にあり，これと（０，１，０）を結ぶベクトル（４，－１，０）
　　　２つのベクトル（－１，１，１），（４－１，０）に垂直なベクトル（１，４，－３）を求めて，これが求める平面の法線ベクトル。
求める平面上の任意の点を（ｘ，ｙ，ｚ）とすると，これと（０，１，０）を結ぶベクトル（ｘ，ｙ－１，ｚ）は
（１，４，－３）と垂直より
ｘ＋４（ｙ－１）－３ｚ＝０
∴　ｘ＋４ｙ－３ｚ－４＝０

他の回答も見る

Q2点を通り、平面1に垂直な平面2の求め方

A=(2,1,-1),B=(3,2,1)を通り,平面4x-y-z+2=0に垂直な平面のとき方を教えてください

Aベストアンサー

ベクトルABをAB↑と書き、
点A,点Bの位置ベクトルをそれぞれA↑,B↑と書くことにします。
A↑,B↑は成分表示は座標と同じになります。

A,Bを通る直線の方向ベクトルAB↑は
AB↑=B↑-A↑=(3,2,1)-(2,1,-1)=(3-2,2-1,1-(-1))=(1,1,2) ...(1)

平面4x-y-z+2=0　...(2)
の法線の方向ベクトルC↑は
C↑=(4,-1,-1) ...(3)

従って2点A,Bを通り平面(1)に垂直な平面上の任意点P(x,y,z)は媒介変数s,tを使って
P↑=(x,y,z)
=A↑+sAB↑+tC↑=(2,1,-1)+s(1,1,2)+t(4,-1,-1)
=(2+s+4,1+s-t,-1+2s-t)　...(4)
と表すことができます。
(4)は2点A...続きを読む

他の回答も見る

Q3次元座標2点からの直線式の求め方

お世話になります。

3次元座標2点からの直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。

2次元座標であれば、1つの傾きから算出できるのですが、3次元座標になると、X-Y平面、Y-Z平面での傾きの使い方がこんがらかってしまいます。
基本的な質問で申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。

座標1 = (x1,y1,z1)
座標2 = (x2,y2,z2)

以上

Aベストアンサー

> 直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。
3次元座標では(ax+by+cz=0)は原点を通る平面になり、直線の式ではありません。ax+by+cz=dは平面の一般式です。

2点を通る直線の式には公式があります。
以下のように簡単に導けます。
点(x1,y1,z1)を通り方向ベクトル(x2-x1,y2-y1,z2-z1)の直線ですから
媒介変数形式で
(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
と成ります。
これを変形してすれば
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
と3次元座標の直線の式となります。

他の回答も見る

Q平面の方程式についての質問です

問題：
２点A(2,1,-1),B(3,-1,2)を通り、直線(x-2)/3=(y+3)/-4=(z-1)/3に平行な平面の方程式を求めよ。

まず：A、B 2点を通りの直線はx-2/3-2 = y-1/-1-1 =z+1/2+1 により
( L＝1;M=-2;N=3　と　この直線の上の点（2,1,-1）を使って）x-2+3z+3=0っていう平面の方程式を得る。
この方程式のベクトルは（1,-2,3）
直線(x-2)/3=(y+3)/-4=(z-1)/3の点（２、,－３，１）と先に得たベクトル（1,-2,3）を使って、求める平面の方程式は：
1(x-2)+(-2)(y+3)+3(z-1)=0

この解き方は間違ったと思うので、お願いします。

Aベストアンサー

確かに間違っているみたいですね。

質問中の方法だと、ＡＢに垂直な平面の方程式を出そうとしていることになります。

平面の法線ベクトルをｎとおくと、ｎ⊥ＡＢ、ｎ⊥（もらった直線）
なので、ここから、法線ベクトルを決定するのが良いのでは？

ｎ（ａ，ｂ，ｃ）とおき、
直線の方向ベクトルは（３、－４，３）
ＡＢベクトルは（１，－２，３）

なので、
３ａ－４ｂ＋３ｃ＝０
　ａ－２ｂ＋３ｃ＝０

よって、ａ：ｂ：ｃ＝３：３：１

ｎ＝（３，３，１）とすれば、後は解けますね？

他の回答も見る

Q直線を含む平面

直線を含む平面とはどのような平面のことをいうのでしょうか？
直線に垂直とはまた違いますよね？

Aベストアンサー

直線上の異なる2点と直線上にない1点の3点を通る平面のことです。

直線上の１点を通り、かつ
直線の方向ベクトルとそれとは異なる方向ベクトルで貼られる平面
ともいえます。

例
直線mの方程式を媒介変数表示で
(x,y,z)=(1+2t,-1+3t,-2+t)
とすれば、直線上の２点は、たとえばA(1,-1,-2),B(3,2,-1)
と直線上にない点P(1,1,1)とすれば
直線mを含み点Pを通る平面は
(x,y,z)=(1+2t+s,-1+3t+s,-2+t+s)
となります（媒介変数表現）。
媒介変数を消去すれば
直線mを含み直線上にない点Pを通る平面は
2x-y-z-5=0
とも書けます。

他の回答も見る

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x　は、　t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x　を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x　の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

他の回答も見る

Q直線の方程式と垂直な平面の方程式

２点（２，－２，３）、（－２、－５、６）を通る直線ｌは

（ｘ－２）/(－２)＝（ｙ＋２）/(－５)＝（ｚ－５）/６

ですが、この直線の方程式と垂直に交わり（１、１、５）を通る平面の方程式はどう求めるのでしょうか？ＡＢ＝－４i－３ｊ＋３ｋと（ｘ－１）i+(y-1)j+(z-5)kの積＝０として解くと考えたのですが・・・

Aベストアンサー

>２点（２，－２，３）、（－２、－５、６）を通る直線ｌは

>（x-2)/(-2)=(y+2)/(-5)=(z-5)/6
間違い↑。

正しい直線の式は
　(x-2)/(-4)=(y+2)/(-3)=(z-3)/3
です。

>この直線と垂直に交わり（１、１、５）を通る平面の方程式はどう求めるのでしょうか？
>ＡＢ＝－４i－３ｊ＋３ｋと（ｘ－１）i+(y-1)j+(z-5)kの内積＝０として解くと考えたのですが・・・
それで良いでしょう。

直線の方向ベクトルが(-4,-3,3)なので、これに直交する平面で点(1,1,5)を通る平面の
方程式は
　-4(x-1)-3(y-1)+3(z-5)=0
です。
式を整理すると
方程式の陰関数表記では
　4x+3y-3z+8=0
zについて解いた方程式の陽関数表記では
　z=(4/3)x+y+(8/3)
となります。

他の回答も見る

Q一次従属の問題

「３個のベクトル
　Ａ＝（１，１，１）
　Ｂ＝（１，－２，３）　
　Ｃ＝（２，１，ａ）　が1次従属であるためには，ａはいくらでなければならないか。」

という問題が学校で出されましたが、さっぱりわかりません。
ぜひ、教えてください。お願いします。　　

Aベストアンサー

【線形独立と線形従属の定義】
K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
　a1x1＋a2x2＋・・・＋anxn=0
を満たす ak (k＝1,2,・・・,n) が、
　a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。

【問題】
3つのベクトル、
　A=(1,1,1)
　B=(1,-2,3)
　C=(2,1,a)
が線形従属であるとき、aの値を求め...続きを読む

他の回答も見る

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか？

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか？？

Aベストアンサー

まず、全部　積分定数Ｃが抜けています。また、積分の前につけるものは　“インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます　∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx＝Ｆ(x)の時、
(d/dx)Ｆ(x)＝f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a＝a*x^(a-1)になります　…高校数学の数３で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx＝(1/a)*x^a＋Ｃ
→∫x^adx＝{1/(a+1)}*x^(a+1)＋Ｃ
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx＝∫x^(-2)dx
＝{1/(-2+1)}*x^(-2+1)＋Ｃ
＝－x^(-1)＋Ｃ
＝－１／ｘ＋Ｃ

です。