痔になりやすい生活習慣とは?

ベクトルbに平行な平面の方程式は、一般的にどのように表されますか?教えてください。

よろしくお願いいたします。

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A 回答 (3件)

3次元における平面Pのベクトル方程式は、法線ベクトルを用いるのが一般的です。

これは、Pに対して垂直なベクトルです。
法線ベクトルをnとして、平面P(これをある条件を満たす点P(位置ベクトルp)の集合と考える)上の定点をA(位置ベクトルa)としたとき、 
n・(p-a)=0
というのが、3次元での平面のベクトル方程式です。

ご質問では、bに平行な平面となっていますので、まずbに垂直なベクトルを1つ求めればよいのです。(bに垂直なベクトルは法線ベクトルです)
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2005/04/01 07:12

ベクトルbと平面の交点の位置ベクトルはkb(kはスカラー、bはベクトル)と表せるので、ベクトルxがb・(x-kb)=0を満たしていればよいです。



ベクトルbに平行な平面の方程式、といわれているので、ベクトル方程式の形で示したほうが良いかと思いました。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2005/04/01 07:11

ベクトルv(v1,v2,v3)


平面の方程式ax+by+cz=1

v1*a+v2*b+v3*c=0を満たすa,b,cであれば何でも良い。

あと、ベクトルが通る1点と、もうひとつ平面が含むベクトルがわかれば、平面が1つに決まります。
ご質問の条件からは、「方向」だけがわかっているので、その方向の直線を軸に回転可能な平面が、空間中を自由に動ける状態です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2005/04/01 07:11

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Q平面の交線の方程式

2平面の交線の方程式はどうやって求めるのですか?

例で適当に問題を作ってみたんで教えてください
x-y+3z-1=0,x+2y-z-3=0

どなたか教えていただけませんか?

Aベストアンサー

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
      4x+5y-10=0
      4x=-5(y-2)
      x=-5(y-2)/4・・・・(★)

(☆)(★)より、yとzをxであらわせたので、つなげてみましょう。

x=-5(y-2)/4=-5(z-1)
もうちょっと整理すると、
x/5 =(y-2)/-4 =(z-1)/-3
となって、これは(0,2,1)を通り、方向ベクトルが(5,-4,-3)の
直線になることを示しています。


方程式が2つあるので、どれか一つの文字で表して、つなげてみるといいですね。
頑張ってください!!

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
   ...続きを読む

Q二平面の交線の方程式

二平面の交線の方程式

(1)二平面 x+2y-z-4=0 と x-y+2z-4=0 の交線の方程式を求めよ。
(2)(1)の交線と点(0,1,0)とを通る平面の方程式を求めよ。

解答よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

(1)x+2y-z-4=0
x-y+2z-4=0
をx,yの連立方程式として解くと
x=-z+4 (z=-x+4)
y=z
よって-x+4=y=z

(2) (-1,1,1)はこの交線の方向ベクトル
   (4,0,0)はこの交線上にあり,これと(0,1,0)を結ぶベクトル(4,-1,0)
   2つのベクトル(-1,1,1),(4-1,0)に垂直なベクトル(1,4,-3)を求めて,これが求める平面の法線ベクトル。
求める平面上の任意の点を(x,y,z)とすると,これと(0,1,0)を結ぶベクトル(x,y-1,z)は
(1,4,-3)と垂直より
x+4(y-1)-3z=0
∴ x+4y-3z-4=0

Q2点を通り、平面1に垂直な平面2の求め方

A=(2,1,-1),B=(3,2,1)を通り,平面4x-y-z+2=0に垂直な平面のとき方を教えてください

Aベストアンサー

ベクトルABをAB↑と書き、
点A,点Bの位置ベクトルをそれぞれA↑,B↑と書くことにします。
A↑,B↑は成分表示は座標と同じになります。

A,Bを通る直線の方向ベクトルAB↑は
AB↑=B↑-A↑=(3,2,1)-(2,1,-1)=(3-2,2-1,1-(-1))=(1,1,2) ...(1)

平面4x-y-z+2=0 ...(2)
の法線の方向ベクトルC↑は
C↑=(4,-1,-1) ...(3)

従って2点A,Bを通り平面(1)に垂直な平面上の任意点P(x,y,z)は媒介変数s,tを使って
P↑=(x,y,z)
=A↑+sAB↑+tC↑=(2,1,-1)+s(1,1,2)+t(4,-1,-1)
=(2+s+4,1+s-t,-1+2s-t) ...(4)
と表すことができます。
(4)は2点A,Bを通り平面(1)に垂直な平面の媒介変数表示になります。
点P(x,y,z)のx,y,zは
x=2+s+4t ...(5-1), y=1+s-t ...(5-2), z=-1+2s-t ...(5-3)
となります。
これから媒介変数s,tを消去すればs,tを使わない平面の方程式が得られます。
(5-2)-(5-3)から
 y-z=2-s → s=2-y+z ...(6)
(6)を(5-2)に代入して
 t=1+s-y=3-2y+z ...(7)
(6),(7)を(5-1)に代入すれば
 x=4-y+z+12-8y+4z=16-9y+5z
移項して
 x+9y-5z-16=0 ...(答え)

ベクトルABをAB↑と書き、
点A,点Bの位置ベクトルをそれぞれA↑,B↑と書くことにします。
A↑,B↑は成分表示は座標と同じになります。

A,Bを通る直線の方向ベクトルAB↑は
AB↑=B↑-A↑=(3,2,1)-(2,1,-1)=(3-2,2-1,1-(-1))=(1,1,2) ...(1)

平面4x-y-z+2=0 ...(2)
の法線の方向ベクトルC↑は
C↑=(4,-1,-1) ...(3)

従って2点A,Bを通り平面(1)に垂直な平面上の任意点P(x,y,z)は媒介変数s,tを使って
P↑=(x,y,z)
=A↑+sAB↑+tC↑=(2,1,-1)+s(1,1,2)+t(4,-1,-1)
=(2+s+4,1+s-t,-1+2s-t) ...(4)
と表すことができます。
(4)は2点A...続きを読む

Q3次元座標2点からの直線式の求め方

お世話になります。

3次元座標2点からの直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。

2次元座標であれば、1つの傾きから算出できるのですが、3次元座標になると、X-Y平面、Y-Z平面での傾きの使い方がこんがらかってしまいます。
基本的な質問で申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。

座標1 = (x1,y1,z1)
座標2 = (x2,y2,z2)

以上

Aベストアンサー

> 直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。
3次元座標では(ax+by+cz=0)は原点を通る平面になり、直線の式ではありません。ax+by+cz=dは平面の一般式です。

2点を通る直線の式には公式があります。
以下のように簡単に導けます。
点(x1,y1,z1)を通り方向ベクトル(x2-x1,y2-y1,z2-z1)の直線ですから
媒介変数形式で
(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
と成ります。
これを変形してすれば
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
と3次元座標の直線の式となります。

Q平面の方程式についての質問です

問題:
2点A(2,1,-1),B(3,-1,2)を通り、直線(x-2)/3=(y+3)/-4=(z-1)/3に平行な平面の方程式を求めよ。

まず:A、B 2点を通りの直線はx-2/3-2 = y-1/-1-1 =z+1/2+1 により
( L=1;M=-2;N=3 と この直線の上の点(2,1,-1)を使って )x-2+3z+3=0っていう平面の方程式を得る。
この方程式のベクトルは(1,-2,3)
直線(x-2)/3=(y+3)/-4=(z-1)/3の点(2、,-3,1)と先に得たベクトル(1,-2,3)を使って、求める平面の方程式は:
1(x-2)+(-2)(y+3)+3(z-1)=0

この解き方は間違ったと思うので、お願いします。

Aベストアンサー

確かに間違っているみたいですね。

質問中の方法だと、ABに垂直な平面の方程式を出そうとしていることになります。

平面の法線ベクトルをnとおくと、n⊥AB、n⊥(もらった直線)
なので、ここから、法線ベクトルを決定するのが良いのでは?

n(a,b,c)とおき、
直線の方向ベクトルは(3、-4,3)
ABベクトルは(1,-2,3)

なので、
3a-4b+3c=0
 a-2b+3c=0

よって、a:b:c=3:3:1

n=(3,3,1)とすれば、後は解けますね?

Q直線を含む平面

直線を含む平面とはどのような平面のことをいうのでしょうか?
直線に垂直とはまた違いますよね?

Aベストアンサー

直線上の異なる2点と直線上にない1点の3点を通る平面のことです。

直線上の1点を通り、かつ
直線の方向ベクトルとそれとは異なる方向ベクトルで貼られる平面
ともいえます。


直線mの方程式を媒介変数表示で
(x,y,z)=(1+2t,-1+3t,-2+t)
とすれば、直線上の2点は、たとえばA(1,-1,-2),B(3,2,-1)
と直線上にない点P(1,1,1)とすれば
直線mを含み点Pを通る平面は
(x,y,z)=(1+2t+s,-1+3t+s,-2+t+s)
となります(媒介変数表現)。
媒介変数を消去すれば
直線mを含み直線上にない点Pを通る平面は
2x-y-z-5=0
とも書けます。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q直線の方程式と垂直な平面の方程式

2点(2,-2,3)、(-2、-5、6)を通る直線lは

(x-2)/(-2)=(y+2)/(-5)=(z-5)/6

ですが、この直線の方程式と垂直に交わり(1、1、5)を通る平面の方程式はどう求めるのでしょうか?AB=-4i-3j+3kと(x-1)i+(y-1)j+(z-5)kの積=0として解くと考えたのですが・・・

Aベストアンサー

>2点(2,-2,3)、(-2、-5、6)を通る直線lは

>(x-2)/(-2)=(y+2)/(-5)=(z-5)/6
間違い↑。

正しい直線の式は
 (x-2)/(-4)=(y+2)/(-3)=(z-3)/3
です。

>この直線と垂直に交わり(1、1、5)を通る平面の方程式はどう求めるのでしょうか?
>AB=-4i-3j+3kと(x-1)i+(y-1)j+(z-5)kの内積=0として解くと考えたのですが・・・
それで良いでしょう。

直線の方向ベクトルが(-4,-3,3)なので、これに直交する平面で点(1,1,5)を通る平面の
方程式は
 -4(x-1)-3(y-1)+3(z-5)=0
です。
式を整理すると
方程式の陰関数表記では
 4x+3y-3z+8=0
zについて解いた方程式の陽関数表記では
 z=(4/3)x+y+(8/3)
となります。

Q一次従属の問題

「3個のベクトル
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3) 
 C=(2,1,a) が1次従属であるためには,aはいくらでなければならないか。」

という問題が学校で出されましたが、さっぱりわかりません。
ぜひ、教えてください。お願いします。  

Aベストアンサー

【線形独立と線形従属の定義】
K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
 a1x1+a2x2+・・・+anxn=0
を満たす ak (k=1,2,・・・,n) が、
 a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。

【問題】
3つのベクトル、
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3)
 C=(2,1,a)
が線形従属であるとき、aの値を求めよ。

【解答】
3つのベクトル、
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3)
 C=(2,1,a)
が、線形従属であるための条件は、
 xA+yB+zC=(0,0,0)
 (x,y,z)≠(0,0,0)
を満たす x,y,z が存在することである。
 xA+yB+zC
 =x(1,1,1)+y(1,-2,3)+z(2,1,a)
 =(x+y+2z,x-2y+z,x+3y+az)
 =(0,0,0)
より、
 x+y+2z=0 … (1)
 x-2y+z=0 … (2)
 x+3y+az=0 … (3)
(1)-(2)
 3y+z=0
 ∴ z=-3y … (4)
(1)×a-(3)×2
 (a-2)x+(a-6)y=0
 ∴ (a-2)x=(6-a)y … (5)
(イ)a=2であるとき
(5),(4),(1)から、
 x=0, y=0, z=0
(ロ)a≠2であるとき
(5)から、
 x=(6-a)y/(a-2)={-1+4/(a-2)}y … (6)
(4),(6)を(1)に代入すれば、
 {-1+4/(a-2)}y+y-6y={-6+4/(a-2)}y=0 … (7)
(あ)y=0であるとき
(4),(5)から、
 x=0, z=0
(い)y≠0であるとき
(7)から、
 -6+4/(a-2)=0
 ∴ a=8/3
以上より、a=8/3ならば、例えば、y=1のとき、(4),(6)から、
 x=5, z=-3
であるから、
 xA+yB+zC=5(1,1,1)+(1,-2,3)-3(2,1,8/3)=0
が成り立つ。ゆえに、
 a=8/3 … (Ans.)

参考URL:http://www4.justnet.ne.jp/~masema/linear_space.html

【線形独立と線形従属の定義】
K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
 a1x1+a2x2+・・・+anxn=0
を満たす ak (k=1,2,・・・,n) が、
 a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。

【問題】
3つのベクトル、
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3)
 C=(2,1,a)
が線形従属であるとき、aの値を求め...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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