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下記について、ご教授のほど、よろしくお願い申し上げます。

n角形の対角線の数を求める公式 n(n−3)/2について

① 分数を表示することが出来ません。真ん中に線を引いて、何分の何というように(ipadを使用しています)

②公式の意味がわかりません。何故、どういう理屈で、この数式が対角線を求める公式になるのでしょうか

質問者からの補足コメント

  • 丁寧なご回答ありがとうございます。解読して理解に努めます。

    No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/01/14 12:04
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A 回答 (5件)

頂点Aから他の頂点に引ける線分は


N−1
二本は辺だから対角線は
N−3本
他の頂点からも同様に対角線をひくと
合計はN(N−3)
ただしですこの数えかただと
対角線1本につき2回づつダブって数えていますから
ダブり解消のため2で割ると
公式が得られます
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この回答へのお礼

丁寧且つ詳細なご回答ありがとうございます。大変勉強になりました。

お礼日時:2022/01/10 16:59

こういう数え方も有ります。



n角形のn個の頂点のむずび方の数は
n個の頂点から 2点を選ぶ選び方の数なので

nC2 = n(n-1)/2
通り。

つまり2点を結ぶ線分は n(n-1)/2 本有りますが
うち n 本は対角線じゃなくて、n角形の外周の辺なので

n(n-1)/2 - n = n(n-3)/2
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

丁寧且つ詳細なご回答ありがとうございます。

お礼日時:2022/01/15 23:02

ある一つの点から対角線の相手は、自分と隣のふたつ(これは対角線ではなく「辺」になるから)の3つを引いたもの。


n角形にはn個の点があるから、一個当たり(n-3)本の対角線が引けるのなら、全体の数は n×(n-3)

但し、この数え方だと、自分から引いた対角線と相手から引いた対角線とで二重に数える[すべての対角線に対し]ので、上記の本数を2で割る。


図を描きながら上記を確かめると、分かり易いよ。
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この回答へのお礼

丁寧且つ詳細なご回答ありがとうございます。大変勉強になりました。

お礼日時:2022/01/11 23:16

なお、高校で「組み合わせ」を習うと、


さっきの①は、
「n個の頂点からいずれか2個を選ぶ場合の数」
となり、nC2 = n(n-1)/2 と出せます。
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この回答へのお礼

丁寧且つ詳細なご回答ありがとうございます。大変勉強になりました。

お礼日時:2022/01/10 16:59

「辺と対角線を合わせた本数」…①から


「n角形の辺の本数」…②を引くと、
「n角形の対角線の本数」が求まります。
② は、n角形ならn本ですから
①が分かればいいわけです。
①は、中学校の教科書だと
「n個の頂点のうち1つを選んで、他の頂点と結べる線の本数は(n-1)本、その隣の頂点は(n-2)本、…」と繰り返していく方法です。
四角形 → 3+2+1=6本
五角形 → 4+3+2+1=10本
六角形 → 5+4+3+2+1=15本
…と言う具合です。すると、
n角形 → (n-1)+(n-2)+…+ 3+2+1
=n(n-1)/2本
コレが①になります。
よって、「n角形の対角線の本数」
= ①-②
= n(n-1)/2 - n
= (n^2-n-2n)/2
= (n^2-3n)/2
= n(n-3)/2
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この回答へのお礼

丁寧且つ詳細なご回答ありがとうございます。大変勉強になりました。

お礼日時:2022/01/10 16:59

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