微分お願いします！

(x-x^2)/(n+1-x) をxで微分し、極大値{n+1-√(n^2+n)}{√(n^2+n)-n}/√(n^2+n)を求めたいです！
過程がわかる方、教えてください！

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/10 19:50

f(x)

=(x-x^2)/(n+1-x)
=x+n+n(n+1)/(x-n-1)

f'(x)
=1-n(n+1)/(x-n-1)^2
={x^2-2(n+1)x+n+1}/(x-n-1)^2
={x-n-1+√(n^2+n)}{x-n-1-√(n^2+n)}/(x-n-1)^2

x<n+1-√(n^2+n)の時f'(x)>0だからf(x)は増加
n+1-√(n^2+n)<x<n+1+√(n^2+n)の時f'(x)<0だからf(x)は減少
n+1+√(n^2+n)<xの時f'(x)>0だからf(x)は増加
だから

x=n+1-√(n^2+n)の時
極大値f(n+1-√(n^2+n))
=
2n+1-2√(n^2+n)

------------------------------------------
{n+1-√(n^2+n)}{√(n^2+n)-n}/√(n^2+n)
={(2n+1)√(n^2+n)-2n(n+1)}/√(n^2+n)
=
2n+1-2√{n(n+1)}

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/01/10 15:27

何の極大値ですか？

f(x) = (x - x^2)/(n + 1 - x)
としたときの「f(x) の極大値」ですか？

「関数」と何なのか、分かっていませんね？

f(x) を x で微分するなら、「商の微分」を使って

f'(x) = [(1 - 2x)(n + 1 - x) - (x - x^2)(-1)]/(n + 1 - x)^2
　　= [(n + 1 - x) - 2x(n + 1 - x) + (x - x^2)]/(n + 1 - x)^2
　　= [n + 1 - x - 2nx - 2x + 2x^2 + x - x^2]/(n + 1 - x)^2
　　= [x^2 - 2(n + 1)x + n + 1]/(n + 1 - x)^2

f(x) が極値をとるのは f'(x)=0 のときなので
　x^2 - 2(n + 1)x + n + 1 = 0
二次方程式の解の公式より
　x = (n + 1) ± √[(n + 1)^2 - (n + 1)]
　　= (n + 1) ± √[(n^2 + 2n + 1) - (n + 1)]
　　= (n + 1) ± √(n^2 + n)

このどちらかで f(x) は「極大」になり、他方で「極小」になるのでしょう。

そのときの f(x) の値は
(i) x = (n + 1) + √(n^2 + n)　のとき
　f(x) = {(n + 1) + √(n^2 + n) - [(n + 1) + √(n^2 + n)
]^2} / {n + 1 - [(n + 1) + √(n^2 + n)]}
　　= [(n + 1) + √(n^2 + n)]{1 - [(n + 1) + √(n^2 + n)]} / {-√(n^2 + n)}
　　= [(n + 1) + √(n^2 + n)]{(n - √(n^2 + n)]} / √(n^2 + n)

(ii) x = (n + 1) - √(n^2 + n)　のとき
　f(x) = {(n + 1) - √(n^2 + n) - [(n + 1) - √(n^2 + n)]^2} / {n + 1 - [(n + 1) - √(n^2 + n)
]}
　　= [(n + 1) - √(n^2 + n)]{1 - [(n + 1) - √(n^2 + n)]} / √(n^2 + n)
　　= [(n + 1) - √(n^2 + n)][√(n^2 + n) - n] / √(n^2 + n)

どちらが極大か極小かはご自分で判定してください。
質問文に書かれているのは (ii) の方ですね。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2022/01/10 15:01

・与えられた関数の微分をとって、

f'(x)=(1-2x)/(n+1-x)-(x-x^2)/(n+1-x)^2
={(1-2x)(n+1-x)-(x-x^2)}/(n+1-x)^2
=(n+1-x-2xn-2x+x^2-x+x^2)/(n+1-x)^2
={2x^2-(4+2n)x+(n+1)}/(n+1-x)^2
・それをゼロにしてｘを求め ((n+1-x)<>0)
f'(x)=0
⇒x=[(4+2n)±√｛(4+2n)^2-8(n+1)｝]/4
＝[(2+n)±√｛(2+n)^2-2(n+1)｝]
={(2+n)±√(n^2+2n+2)}
・こやつを元の式のｘにぶち込む（めんどくさいし、そもそもここまでの計算が合っているか自信ないので以下略）

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/01/10 14:58

商の微分公式使えば

簡単に微分できますよ