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あの、画像の右下にある紫の下線部のローラン展開の式は
i)
0<r<2
C={z||z-1|=r}
の時は
n≧-1の時はa(n)=-1/(-2)^(n+2)
n≦-2の時はa(n)=0
の場合のローラン展開の式だと思うのですが、

仮に
ii)
r>2
C={z||z-1|=r}
の時は
n≧-1の時はa(n)=0
n≦-2の時はa(n)=1/(-2)^(n+2)
の場合のローラン展開の式を作る場合はどの様な式になるのでしょうか?

「あの、画像の右下にある紫の下線部のローラ」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 以前の青い下線部の式のanを求めるn≦-2の時は
    a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dzを使わないとならないとの事ですが
    画像より=0となるまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか?

    どうかよろしくお願いします。

    「あの、画像の右下にある紫の下線部のローラ」の補足画像1
      補足日時:2022/01/12 08:33
  • 画像ありがとうございます。
    画像の上の式はanが0の時でない場合のローラン展開で、下の式もanが0の時でない場合のローラン展開ということでしょうか?

    「あの、画像の右下にある紫の下線部のローラ」の補足画像2
      補足日時:2022/01/12 19:30
  • 0<r<2の時には
    n≧-1の時はa(n)=-1/(-2)^(n+2)
    n≦-2の場合はa(n)=0
    r>2の時には
    n≧-1の時はa(n)=0
    n≦-2の場合はa(n)=1/(-2)^(n+2)
    です
    に関して、

    n≦-2の場合のa(n)=0と
    n≧-1の時のa(n)=0とanが0となるまでの過程の計算をそれぞれ教えて頂けないでしょうか?

      補足日時:2022/01/12 21:23
  • なるほど、ありがとうございます。

    「|z-1|>2
    の場合は
    zを1に近づけることはできないから
    lim_{z→1}
    は使えないけれども
    zを-1に近づける事はできるから
    lim_{z→-1}
    は使えるのです」

    より

    ii)
    a=1
    r>2
    C={z||z-a|=r}
    f(z)=1/(z^2-1)の場合では
    a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz…①を使うしかないと理解できました。

      補足日時:2022/01/13 11:24
  • 仮に見やすくするためだけなら別にg(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}と置かなくても良いのですよね?

      補足日時:2022/01/13 19:19
  • 「(コーシーの積分の定理)
    関数g(z)が領域D内で正則で、
    D内にある単一閉曲線Cで囲まれた領域がDの内部にある
    ならば
    ∳_{C}g(z)dz=0」

    に関して、なぜ∳_{C}g(z)dzが0となるのでしょうか?
    過程の計算などあれば教えて頂けないでしようか?
    また、∳_{C}g(z)dzが0と導けた事で何がわかったのでしようか?

      補足日時:2022/01/13 19:22
  • ありがとうございます。

    コーシーの積分の定理から
    g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}が
    画像のような計算ができるため「正則関数」と言えて、かつ
    g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}=0と置けた。
    そして、g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}を含むa(n)の式は
    a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz=0とできるため
    a(n)は0とできた。

    という理解で良いでしょうか?

    「あの、画像の右下にある紫の下線部のローラ」の補足画像7
      補足日時:2022/01/14 08:31
  • 過去に質問したような気がして申し訳ないのですが、画像の式はなぜ発散しないのでしたっけ?

    「あの、画像の右下にある紫の下線部のローラ」の補足画像8
      補足日時:2022/01/15 07:14
  • ありがとうございます。
    wikiより正則関数であればコーシー・リーマンの関係式が成立するので、実部と虚部の項が0になるためだとわかりました。

    この実部と虚部の項が0になるとは、
    画像の青い下線部の式を①だとして、
    「コーシーの積分の定理から
    b=a=1+r
    G(z)=∫g(z)dz
    ∳_{C}g(z)dz=G(b)-G(a)=G(a)-G(a)=0
    だから」のG(a)-G(a)みたいな感じで
    ①-①となるためでしょうか?



    また、質問が3つあります。
    一つ目、なぜb=a=1+rとしたのでしょうか?1+rがどうやって出てきたのか知りたいです。
    二つ目、式が正則関数でない場合は実部と虚部の項に分ける事が出来ないのでしょうか?
    だとしたらなぜ分けられないのでしょうか?
    三つ目、正則関数でない関数はどんな式がありますか?具体的に教えて下さい。

    どうかよろしくお願いします。

    「あの、画像の右下にある紫の下線部のローラ」の補足画像9
      補足日時:2022/01/16 04:58
  • 度々すいません。

    z=1の時分母が0だから
    f(1)を定義できないから
    z=1で正則でないとなり、かつ
    z=1で積分不可能となったわけでしょうか?

      補足日時:2022/01/20 22:52
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A 回答 (15件中1~10件)

ii)


r>2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz

C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
f(z)/(z-1)^(n+1)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}←…指数の(n+2)はここにある
だから

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
とすると

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}g(z)dz

n≦-2の時
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}=(z-1)^(-n-2)/(z+1)

z=-1で1位の極をもつから
留数定理から

a(n)=Res(g(z),-1)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz

留数の公式から({1/(2πi)}は消える)

Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)

a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2) (←a(n)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)と同じ)

a(n)=(-2)^(-n-2)
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a(n)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)



ii)
|z-1|=r>0
f(z)=1/(z^2-1)
の場合
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
となって
n≦-2の時
a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)
となって
留数の公式から
Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)
だから
a(n)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)
となるのです

直接
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
から作ったのではありません
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この回答へのお礼

なるほど!

lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)はa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}から作ったのではなく、a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dzから作られたわけですね!
だとしたら、どのようにa(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dzからa(n)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)を作ったのでしょうか?
指数の(n+2)はどうやって出てきたのでしょうか?1/(2πi)はどうやって消えたのでしょうか?以上を考慮して詳しくa(n)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)を作るまでを教えて頂きたいです。

お礼日時:2022/01/21 19:11

留数の公式から



Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

となる

1/(z+1)

n+1回zで微分して
lim_{z→1}
として
{1/(n+1)!}
をかけると

{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=-1/(-2)^(n+2)

となる
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
すいません。
最後にa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}からa(n)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)をどう作ったかを教えて頂けるでしょうか?

お礼日時:2022/01/21 15:44

f(z)=1/(z-1)



z=1の時分母が0で
z→1の時発散だから
z=1で連続となるように
f(1)を定義できないから
z=1で正則でないとなり、
z=1で積分不可能となった
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
過去の解答を読み直して疑問があるのですが、

「a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)+Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)+{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)
=0」に関して、

どうやって
Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)から{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}を導いたのでしょうか?
また、どうやって
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}から-1/(-2)^(n+2)を導いたのでしょうか?

お礼日時:2022/01/21 08:17

例えば


f(z)=1/(z-1)

z=1の時分母が0だから
f(1)を定義できないから
z=1で正則でないから
z=1で積分不可能だから
積分経路
C={z||z-1|=r}
には
z=1を含むことはできません
だから
r>0なのです
0<|z-1|≦r

f(z)=1/(z-1)

正則なのだけれども
z=1
で正則でないから
D={z;|z-1|≦r}
で正則でないから

コーシーの積分の定理が不可能
なのです

コーシーの積分の定理を適用するためには

積分経路
C={z||z-1|=r}

正則であるだけではなく
Cを含む
単一閉曲線に囲まれた領域内部全体D(z=1を含む)でも
f(z)

正則でなければいけないのです
「あの、画像の右下にある紫の下線部のローラ」の回答画像11
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2022/01/16 11:52

例えば


f(z)=1/(z-1)

z=1の時分母が0だから
f(1)を定義できないから
z=1で正則でないから
z=1で積分不可能だから
積分経路
C={z||z-1|=r}
には
z=1を含むことはできません
だから
r>0なのです
0<|z-1|≦r

f(z)=1/(z-1)

正則なのだけれども
z=1
で正則でないから
|z-1|≦r
で正則でないから

コーシーの積分の定理が不可能
なのです

コーシーの積分の定理を適用するためには

積分経路
C={z||z-1|=r}

正則であるだけではなく
Cを含む
単一閉曲線に囲まれた領域内部全体(z=1を含む)でも
f(z)

正則でなければいけないのです
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この回答へのお礼

過去の質問ですいません。
詳しくはn≧-1の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=1でn+2位の極を持つから
a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)
となるのは書かれてありました。

ですが、{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
から-1/(-2)^(n+2)になるまでがよくわかりません。

お礼日時:2022/01/21 08:22

0<r<2


積分経路
C={z||z-1|=r}

中心1半径rの円周
z=1+re^(it) (0≦t≦2π)

aは積分経路Cの始点1+re^(0i)=1+r
bは積分経路Cの終点1+re^(2πi)=1+r

|z-1|≦r<2の時
n≦-2の時
g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)

正則だから
コーシーの積分の定理が可能だから
∳_{C}g(z)dz=0
だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}g(z)dz=0
a(n)=0

|z-1|≦r<2の時
n≧-1の時
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}

z=1で正則ではないので
コーシーの積分の定理が不可能
z=1はn+2位の極(特異点)
だから
留数定理から

a(n)
={1/(2πi)}∳_{C}g(z)dz
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
↓留数の公式から
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)
={(-1)^(n+1)}/2^(n+2)

a(n)={(-1)^(n+1)}/2^(n+2) 

n≦-2の時a(n)=0
n≧-1の時a(n)={(-1)^(n+1)}/2^(n+2)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

二つ目、式が正則関数でない場合は実部と虚部の項に分ける事が出来ないのでしょうか?
だとしたらなぜ分けられないのでしょうか?

お礼日時:2022/01/16 08:25

なぜ正則関数だとコーシーの積分の定理が可能なのかは


コーシーの積分の定理の証明にかいてあります
コーシーの積分の定理の証明は
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC …

参照願います

|z-1|<2の時
f(z)=1/(z^2-1)

z=1で正則ではありません
z=1は1位の極(特異点)です

|z-1|<2の時
n≧-1の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}

z=1で正則ではありません
z=1はn+2位の極(特異点)です

f(θ)=sinθ/cosθ=-1/(θ-π/2)+…

0<|θ-π/2|<π

定義されるから
0<|θ-π/2|<π
では
発散しません

左辺の
sinθ/cosθ

値は
0<|θ-π/2|<π

発散しないのだから
右辺
-1/(θ-π/2)+…
も発散しないのです
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違います


コーシーの積分の定理から
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}が
「正則関数」と言えるのではありません
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}=0と置けません

|z-1|<2
n≦-2の時
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}が
「正則関数」
だから
コーシーの積分の定理から

b=a=1+r
G(z)=∫g(z)dz
∳_{C}g(z)dz=G(b)-G(a)=G(a)-G(a)=0
だから

∳_{C}g(z)dzが0と導けた事で

↓C={z||z-1|=r},g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}だから

∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz=0
が導けたから
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz=0
だから
a(n)=0
がわかったのです
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの、なぜ正則関数だとコーシーの積分の定理が可能なのでしょうか?
また、正則関数出来ない関数はどんな関数ですか?微分出来ない関数だとは思いますが。

お礼日時:2022/01/15 07:11

違います


コーシーの積分の定理から
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}が
「正則関数」と言えるのではありません
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}=0と置けません

|z-1|<2
n≦-2の時
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}が
「正則関数」
だから
コーシーの積分の定理から

b=a=1+r
∳_{C}g(z)dz=g(b)-g(a)=g(a)-g(a)=0
だから

∳_{C}g(z)dzが0と導けた事で

↓C={z||z-1|=r},g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}だから

∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz=0
が導けたから
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz=0
だから
a(n)=0
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