《等加速度直線運動》

ある物体を水中に投げ込んだ。物体は深さ7、0mのA点を
下向きに6、0m/Sで通過し、その4、0秒後に上向きに2、0m/Sの速さになった。

(1)物体の加速度を求めよ。
(2)A点を通過してから3、5秒後の物体の速度を求めよ。
(3)物体はA点よりもさらに何m下までもぐるか。
(4)この物体が水面に浮上するのは、
        A点を最初に通過したから何秒後か。

どうか、わかりやすい解答お願いしますm(_ _)m

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A 回答 (5件)

まず,最初に,抵抗を無視して全然かまわないと思いますよ。


抵抗を考えなければ測定値とズレる場合もあるかと思いますが、
そのズレは気にしないという条件の下で考えれば良いのです。
適用範囲の大小だけの問題です。
無視することに躊躇も罪悪感も不要ですよ!

水中に投げ込んだ物体がしばらくして浮かんできた。
ということは上向きに力が働いていると考えられる。
もっとも簡単な仮定として一定の上向きの力が働いていると考えてみよう。
まったく自然です。
抵抗云々を考えるとしたらその後です。

ちょっと大胆すぎない? と思う場合は次のように考えましょう。
問題文に7.0[m]とか2.0[m/s]とかいう書き方がされています。
これは小数点第2位以下は信用していない,という意思表示です。
有効数字といわれるもので,理系に進むといずれ出てくると思います。
等加速度運動からのずれはそれ以下であるという状況下で考えている
と思えばよいでしょう。

しかし,kasuyaさんはおそらく,こんなことはまあどうでもよくて,
もっと基本的な事がわからないのだと思います。
stomachmanさんが答えてくれていますが,微積分を知らないときついかな?.
pei-peiさんのヒントにしたがって考えてみるとよいと思います。
その方針で分からなかったらまた質問したら良いと思います。
そのとき,自分がどこまで考えどの点がわからないのかを明確にすると,
きっとまたどなたかが答えてくれると思います。
ではではがんばって。

あと,誤解しているといけないので付け加えておくと,
この問題は力学の基本問題で,ぜんぜん難問でないので
変な先入観をもたないように気をつけて。
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No.2の回答にあるとおり、水の抵抗を無視した場合の問題が難しいと仰るのは…皮肉ぐらい理解しましょうね。



さて、運動方程式には2つの力が関係しています。
(A) 浮力
(B) 水の抵抗

 (A)は一定の加速度が上向きに掛かる。物体の比重をwとしますと浮力による上向きの加速度は(1-w)g。gは重力加速度です。比重wは未知ですが、wが0以下になることはありません。
 (B)は不整形の物体が回転したりしますと非常に複雑な振る舞いをするので簡単に扱うことはできません。直線運動ですらないでしょう。だからこの問題は明らかに不備なんです。おしまい。

●いやその、おしまいじゃ困る。そこで、ごくおおざっぱな近似としては、速度に比例する抵抗力が発生する。従って加速度も速度に比例します。この比例係数をKとする。Kは物体の形状や大きさで決まります。
 問題の記載だけの情報では、Kは実験的に測られるものと考えるしかないですね。Kは未知ですが、ことに物体が小さい場合にはKは大きい。水の粘性抵抗が慣性よりも効いてくるからです。
 以上から、時刻tにおける深さをx(t)と表すことにしますと、運動方程式は
 x''+Kx'+(1-w)g=0
です。(ここに'はtによる微分、''はtによる二階微分です。)
未知の係数がK,wの2つあるのに、問題文で与えられている条件はひとつだけ(x'(4)=-2)ですから、答は出ません。でも一応解いてみましょう。
 A点を通ったときをt=0とすると、境界条件は
 t=0における深さx(0)=7、初速x'(0)=6
となります。この運動方程式の解は
 x(t)=x(0)+[x'(0)/K+(1-w)g/(K^2)](1-exp(-Kt))-[(1-w)g/K]t
であり、時刻tにおける速度は
 x'(t)=[x'(0)+(1-w)g/K](exp(-Kt))-(1-w)g/K
時刻tにおける加速度は
 x''(t)=-[(1-w)g+Kx'(0)](exp(-Kt))
です。 (K^2 はKの2乗、exp(-Kt)は指数関数 exp(-Kt)=e^(-Kt) のことです。)等加速度直線運動なんかじゃないですね。
 ま、どのみち答はでないのだから、やっぱり問題が不備ですねえ。おしまい。

●いや、いや、いや。おしまいじゃ困りますね。なんとか答をひねり出してみましょう。
 きっと問題の物体は針のようなものでK≒0だったんだ、と考えるしかないでしょうね。
すると運動方程式は
 x''+(1-w)g=0
です。これを解いてもよいし、既にでている式で
K→0のときexp(-Kt)→1-Kt+((K^2)/2)(t^2)
を用いても良く、結果は
 x''(t)=-(1-w)g
 x'(t)=x'(0)-(1-w)gt  
 x(t)=x(0)+[x'(0)]t-[(1-w)g/2](t^2)
となります。ようやく等加速度直線運動です。
 この右辺にx(0)=7、x'(0)=6を代入すれば
 x''(t)=-(1-w)g
 x'(t)=6-(1-w)gt
 x(t)=7+6t
さらに
 x'(t)=6-(1-w)gt

 x'(4)=-2
を代入してみれば
 (1-w)g=2 [m/(s^2)]
と決まりますから、
 x''(t)=-2 [m/(s^2)]
 x'(t)=6-2t [m/s]
 x(t)=7+6t-(t^2) [m]
従って、それぞれの問いに答えるのは容易です。すなわち(1)はx''(t)そのまんま、(2)はx'(3.5)、(3)はx'(t)=0になるtにおけるx(t)がA点よりもさらに何m大きいか、(4)はx(t)=0となるt(ただしt>0)を求める問題です。

●K≒0ということは、針の様に細くて、水に浮かぶ様な小さい比重で、粘性抵抗が無視できるぐらい慣性が大きく、つまり重い。ということは、よほど長大なものとしか思えません。モリかなんかでしょうか。

という訳で、ふざけた問題です。文句言いましょうね。
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水の抵抗を考慮すると等加速度直線運動にならないと思いますが?


水の抵抗は物体の速度に依存する。また速度が時間に依存するので水の抵抗は時間に依存します。よって物体に加わる力が時間に依存するので、加速度も時間に依存し、等加速にはなりません。

水の抵抗は無視ですか?

たぶん水の抵抗は考えないんだと思います。

この回答への補足

はい、水の抵抗は無視です。
補足いれなくてすいません。

補足日時:2001/08/31 21:44
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高校生でしょうか?ヒントだけ・・・



(1)a=(v-v0)/t
(2)v=v0+at
(3)v^2-v0^2=2axでv=0として
(4)x=v0t+at^2/2

いずれも向きを正負の符号で区別して計算する。

頑張って!
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この回答へのお礼

ムムッ…!!そうきたかぁ~(^^)
ありがとうございます。v^2とは二乗のことですよね?
ありがとうございます。
頑張ってみます!!

お礼日時:2001/08/31 21:43

水中に投げ込んだのなら等加速度運動にはならないと思いますが。

この回答への補足

高校生の物理の問題です。
水の抵抗は無視ということみたいです。

補足日時:2001/08/31 21:37
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の形になるんでしたね。ここで、kをばね定数って思い込まないようにね(^^;)
それから、単振動の式を立てるときは、xは必ず正の位置にあると仮定して合力を考えるんでしたね。
そこで、yは y>0 と仮定して、A,Bの電荷から受ける力の式を書いてみます。
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15秒後 B (2, 1) ← y=1, x=2
30秒後 C (-3, -5) ← y=-5, x=-3

A → B : x: 2 - 5 = -3, y: 1 - 3 = -2
 つまり、x:-3 負なので「西方向に 3m」
     y:-3 負なので「南方向に 2m」

B → C : x: -3 - 2 = -5, y: -5 - 1 = -6
 つまり、x:-5 負なので「西方向に 5m」
     y:-6 負なので「南方向に 6m」

(2) 直線距離は √(x^2 + y^2) なので

 AB = √[ (2 - 5)^2 + (1 - 3)^2 ]
   = √[ (-3)^2 + (-2)^2 ]
   = √13 (m)

 AC = √[ (-3 - 5)^2 + (-5 - 3)^2 ]
   = √[ (-8)^2 + (-8)^2 ]
   = √128
   = 8√2 (m)

(3) 平均の速さは、「距離」を「時間」で割ればよいので

 AB間の平均の速さ = √13 (m) / 15 (s) = √13 / 15 (m/s)

 AC間の平均の速さ = 8√2 (m) / 30 (s) = 4√2 (m) / 15 (m/s)

普通の「x-y 座標」は分かりますよね。
この問題の場合にも、同じように考えて、「北」を上にしてy軸正方向、東を右にしてx軸正方向とすれば分かるでしょう?
「西に -5m」ということは、「東に 5m」ということです。

それさえ分かれば、何も難しいものはありません。

(1) t=0 のとき A (5, 3) ← y=3, x=5
15秒後 B (2, 1) ← y=1, x=2
30秒後 C (-3, -5) ← y=-5, x=-3

A → B : x: 2 - 5 = -3, y: 1 - 3 = -2
 つまり、x:-3 負なので「西方向に 3m」
     y:-3 負なので「南方向に 2m」

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