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DをC-{x|x≦0}(Cは複素数全体)とした時、D上の正則関数で(0,∞)⊂R上√xと一致するものがあることを示したいです。どのようにすればいいのでしょうか?

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A 回答 (1件)

D=C-{x|x≦0}


z∈D
r=|z|>0
-π<θ=arg(z)<π
z=re^(iθ)
に対して
f(z)=(√r)e^(iθ/2)
と定義する
w=f(z)
b=f(a)
とすると
w^2=z
b^2=a
だから

lim_{z→a}{f(z)-f(a)}/(z-a)
=lim_{z→a}(w-b)/(z-a)
=lim_{w→b}(w-b)/(w^2-b^2)
=lim_{w→b}1/(w+b)
=1/(2b)
=1/{2f(a)}

だから
f(z)は正則で

f'(z)=1/{2f(z)}
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