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Σ[n=1to∞]a_nが収束するならば
lim[n→∞]{a_(n+1)+a_(n+2)+•••}=0

この証明ですが次のような証明で良いのでしょうか。
なんか違う気がするのですが。
S=Σ[n=1to∞]a_n とすると
a_(n+1)+a_(n+2)+•••
= (Σ[n=1to∞]a_n )- {a_1 + a_2 + ••• + a_n}
→ S - S = 0 (n→∞ のとき)

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A 回答 (3件)

良いでしょ。

n=1からn=mまでの部分和をS[m]とする、的な記号を導入すると、もうちっとスッキリするでしょう。冒頭のΣ[n=1to∞]a_n とは lim[m→∞] S[m] ってことですからね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました!
理解できました。

お礼日時:2022/01/18 01:04

#2さんの通りと思います。

ただ、厳密性を考えると
 lim[n→∞]{a_(n+1)+a_(n+2)+•••}=0
の定義をどうするかと思います。

題意に沿って考えてみる。
 S[n]=a[1]+・・・+a[n]
 S[n] → S
つまり、
 ∀ε>0, ∃N, n>N → |S[n]-S|<ε・・・・①
である。

また
 A[n,m]=a[n+1]+・・・+a[m]
 A[n]=S-S[n]
とする。

①から
∀ε>0, ∃M, m>M → |A[n,m]-(S-S[n])|=|S[m]-S|<ε・・・・②
つまり
 A[n,m] → (S-S[n]) (m → ∞)
そこで、
 A[n]=S-S[n]・・・・③
とおく。すると
 {a_(n+1)+a_(n+2)+•••}=lim[m→∞] A[n,m]
と定義すると
 {a_(n+1)+a_(n+2)+•••}=A[n]
となる。

ここで③①から
 |A[n]|=|S-S[n]|<ε
つまり
 lim[n→∞] A[n]=0
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。助かりました

お礼日時:2022/01/18 01:05

S=Σ_{n=1~∞}a_n


とすると
S=lim_{n→∞}Σ_{k=1~n}a_k
だから

任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|S-Σ_{k=1~n}a_k|<ε/2
だから
m>n>n_0となる任意の自然数mに対して
|S-Σ_{k=1~m}a_k|<ε/2
だから

|Σ_{k=n+1~m}a_k|
=|Σ_{k=1~m}a_k-Σ_{k=1~n}a_k|
=|Σ_{k=1~m}a_k-S+S-Σ_{k=1~n}a_k|
=|Σ_{k=1~m}a_k-S+(S-Σ_{k=1~n}a_k)|
=|S-Σ_{k=1~n}a_k+Σ_{k=1~m}a_k-S|
=|S-Σ_{k=1~n}a_k-S+Σ_{k=1~m}a_k|
=|S-Σ_{k=1~n}a_k-(S-Σ_{k=1~m}a_k)|
≦|S-Σ_{k=1~m}a_k|+|S-Σ_{k=1~n}a_k|
<ε/2+ε/2

だから

lim_{n→∞,m→∞}{Σ_{k=n+1~m}a_k}=0
だから

lim_{n→∞}{Σ_{k=n+1~∞}a_k}=0
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2022/01/18 01:04

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