大学数学の問題です。証明があっているか見て欲しいです。

Σ[n=1to∞]a_nが収束するならば
lim[n→∞]{a_(n+1)+a_(n+2)+•••}=0

この証明ですが次のような証明で良いのでしょうか。
なんか違う気がするのですが。
S=Σ[n=1to∞]a_n とすると
a_(n+1)+a_(n+2)+•••
= (Σ[n=1to∞]a_n )- {a_1 + a_2 + ••• + a_n}
→ S - S = 0 (n→∞ のとき)

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/17 03:59

S=Σ_{n=1～∞}a_n

とすると
S=lim_{n→∞}Σ_{k=1～n}a_k
だから

任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|S-Σ_{k=1～n}a_k|<ε/2
だから
m>n>n_0となる任意の自然数mに対して
|S-Σ_{k=1～m}a_k|<ε/2
だから

|Σ_{k=n+1～m}a_k|
=|Σ_{k=1～m}a_k-Σ_{k=1～n}a_k|
=|Σ_{k=1～m}a_k-S+S-Σ_{k=1～n}a_k|
=|Σ_{k=1～m}a_k-S+(S-Σ_{k=1～n}a_k)|
=|S-Σ_{k=1～n}a_k+Σ_{k=1～m}a_k-S|
=|S-Σ_{k=1～n}a_k-S+Σ_{k=1～m}a_k|
=|S-Σ_{k=1～n}a_k-(S-Σ_{k=1～m}a_k)|
≦|S-Σ_{k=1～m}a_k|+|S-Σ_{k=1～n}a_k|
<ε/2+ε/2
=ε
だから

lim_{n→∞,m→∞}{Σ_{k=n+1～m}a_k}=0
だから
∴
lim_{n→∞}{Σ_{k=n+1～∞}a_k}=0

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2022/01/18 01:04

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/01/17 20:13

良いでしょ。

n=1からn=mまでの部分和をS[m]とする、的な記号を導入すると、もうちっとスッキリするでしょう。冒頭のΣ[n=1to∞]a_n とは lim[m→∞] S[m] ってことですからね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！
理解できました。

お礼日時：2022/01/18 01:04

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/01/17 23:51

#2さんの通りと思います。

ただ、厳密性を考えると
　lim[n→∞]{a_(n+1)+a_(n+2)+•••}=0
の定義をどうするかと思います。

題意に沿って考えてみる。
　S[n]=a[1]+･･･+a[n]
　S[n] → S
つまり、
　∀ε>0, ∃N, n>N → |S[n]-S|<ε・・・・①
である。

また
　A[n,m]=a[n+1]+･･･+a[m]
　A[n]=S-S[n]
とする。

①から
∀ε>0, ∃M, m>M → |A[n,m]-(S-S[n])|=|S[m]-S|<ε・・・・②
つまり
　A[n,m] → (S-S[n]) (m → ∞)
そこで、
　A[n]=S-S[n]・・・・③
とおく。すると
　{a_(n+1)+a_(n+2)+•••}=lim[m→∞] A[n,m]
と定義すると
　{a_(n+1)+a_(n+2)+•••}=A[n]
となる。

ここで③①から
　|A[n]|=|S-S[n]|<ε
つまり
　lim[n→∞] A[n]=0

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。助かりました

お礼日時：2022/01/18 01:05