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逆関数の微分について

f'(x)はy=f(x)をxで微分ですが

(f^-1)'(f(x))はy=f(x)の逆関数をyで微分ということですか?
逆関数なので変数が変わるのでxではなくyだと思うのですが正しいですか?

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A 回答 (3件)

> 逆関数なので変数が変わる



というキカイ的な考え方はやめた方がいいでしょう。

> f'(x)はy=f(x)をxで微分ですが

その意味は「yはxの関数であって
  y(x) = f(x)
である(で、y(x)を略してyと書いている)」ってことですよ。同じ関数を表すのにfとy、2つの記号を持ち込んでややこしくしているだけです。
 f'(x)は単に「f(x)をxで微分したもの」と読む。「y=f(x)をxで微分」だなんて、"y"を持ち出す理由も根拠もありません。

 例えば
  f(x) = e^x
としますと、これは
  f(t) = e^t
とか
  f(y) = e^y
とか書いても同じことです。変数が何なのかが左辺に明示されているんで、どれも同じだと分かりますね。
 さて、
  (f^-1)(t) = log(t)
これは
  (f^-1)(y) = log(y)
とか
  (f^-1)(x) = log(x)
とか書いても同じことです。
 微分を ' で表す略記法は、何で微分するかを明示していないので混乱の元になりやすい。でもこの場合には幸い変数が1個しかないんで、解釈のしようも決まってしまって、
  (f^-1)'(t) = (log(t))' = (d/dt)(f^-1)(t) = 1/t
これは
  (f^-1)'(y) = (log(y))' = (d/dy)(f^-1)(y) = 1/y
とか
  (f^-1)'(x) = (log(x))' = (d/dx)(f^-1)(x) = 1/x
とか書いても同じことです。どう書こうとも、
  (f^-1)'(f(x)) = 1/f(x) = e^(-x)
です。

 ご質問の趣旨に沿ってもう一度確認しましょう。
  y(x) = e^x
の"y(x)"を"y"と略して
  y = e^x
と書くまでは、なるほど普通にやってますよね。そして
  x = log(y)
とやる。でもこの左辺の"x"は"x(y)"という関数(別名:従属変数)を略記したものです。これは"y(x)"に出てきた"x"(実数値をとる自由変数)とは全くの別物である、という点に注意が必要です。そして
  x' = (d/dy)log(y) = 1/y
の左辺も関数(従属変数)であり、"x(y)"という関数の導関数"x'(y)"の略記。
 ここまではいいけれども、最後にyにe^xを代入すると、全くの別物を同じ"x”で表しているんで
  x'(e^x) = e^(-x)
という変な式になっちゃう。これは別物を別の文字で表して区別し
  x'(e^t) = e^(-t)
とやれば何でもないわけです。x'は関数を、tは自由変数を表している。
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問題の関数にはxしか変数がないわけですから当然xで微分する事になります。



そもそも逆関数にしても変数の文字は元のままにするのが普通なので「逆関数なので変数が変わる」と言う事はありません。例えば

y=2x…①

と言う関数を変形すれば

x=(1/2)y

となりますが、①の逆関数はこの式のxとyを入れ替えた

y=(1/2)x

と言う事になります。

それからそもそもの話、f(x)がyになるとは限りません。高校までの数学の教科書では

y=f(x)

と書く事が多いのでそれが当たり前のように思っておられるかもしれませんが、実際に関数を使う場合にはf(x)がvの事もあればEの事もあります。なのでf(x)がyである事が分かっていないなら「yで微分」と言う事自体不可能です。
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y=f(x)で逆関数の微分は


dx/dy=1/(dy/dx)=1/f'(x)

で、xの関数でもかまいません。

y=sinx の逆関数
x=arcsiny
は多値関数なので、yでの微分も多値だけど
xに対しては

dx/dy=1/f'(x)=1/cosx

となるので都合の良い場合が有ります。
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