【線形代数】固有値分解：AV=VΛはなぜ？AV=ΛVではないのか？

固有値分解の解説を読んでいて、
固有値(λ1,λ2,λ3・・・)と固有ベクトル(v1,v2,v3・・・)をまとめる式
AV=VΛというのところでわからなくなります。


＊ベクトル表記や添字表記ができないので
小文字vをベクトルとしv1を1つ目の固有ベクトルとします。

Av1=λ1v1
Av2=λ2v2

これらをまとめるのであれば
AV=ΛVのように思えます。

「Λは対角行列だから、右から掛けても、左から掛けても同じ(=可換)なのかな？」と思ったのですが
調べてみると対角行列同士以外では可換ではないので、それも違うと思います。

ネットの解説記事やYoutubeの解説動画などを見たのですが
上記の部分の説明をしてくれているものを見つけられなかったので
アドバイスいただけると助かります。

質問者からの補足コメント

• みなさま回答ありがとうございます。
  理解が遅いのでひとつずつ丁寧に読んで理解したいと思います。
  
  補足なのですが
  小文字vは各固有ベクトル、添字iでベクトルviとされる個々の固有ベクトルで
  大文字Vはそれらを順番に並べた行列
  
  小文字λは各固有値、添字iでλiとされるここの固有値
  大文字Λそれらを対角線上に並べた行列です。
  
  参考とした解説はいくつもありますが、例えば
  
  の9分ころの解説です。AV=VΛの説明をしています。

    補足日時：2022/01/20 07:17

No.5 ベストアンサー 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/01/20 10:53

補足の動画を見ました。

行列の積の定義はご存じですか？
A＝
(a b)
(c d)

P=
(p q)
(r t)
とすると

AP=
(ap+br aq+bt)
(cp+dr cq+dt)
です。

動画の9分頃の例を使って具体的に説明します。

A=
(2 5)
(3 4)

V=
(5 1)
(-3 1)

Λ=
(-1 0)
(0 7)

AV=
(2*5+5*(-3) 2*1+5*1)
(3*5+4*(-3) 3*1+4*1)

VΛ=
(5*(-1)+1*0 5*0+1*7)
((-3)*(-1)+1*0 (-3)*0+1*7)
=
((-1)*5 7*1)
((-1)*(-3) 7*1)

VΛの第1列はλ1v1、第1列はλ2v2になっている。

一方
ΛV=
((-1)*5+0*(-3) (-1)*1+0*1)
(0*5 +7*(-3) 0*1 +7*1)
=
((-1)*5 (-1)*1)
(7*(-3) 7*1)

ΛVの第1列はλ1v1、第1列はλ2v2ではない。

この回答へのお礼

丁寧に回答頂き、本当にありがとうございます。

私も上記の計算で確認させていただきました。

ベストアンサーとさせていただきます。

お礼日時：2022/01/20 16:57

No.4 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/01/19 19:43

丁寧に書くと以下の通り。

分からなければ2×2の行列で確かめるべし。

------------------------------------------
Aの固有値をλi、固有ベクトルをpiとする。
Api=λipi　(i=1,2,...,n)

ここでPを列ベクトルp1を並べて表記したものとする。
P=(p1,p2,...pn)

またPの成分を次のように表記。
P=(pij) (1≦i,j≦n)
　
固有値λ1,λ2...,λnを対角線上に並べた行列をΛとし、
その成分を次のように表記
Λ=(λij)
ただし　λij=0 (i≠j)、λii=λi (1≦i,j≦n)

PΛの(i,j)成分
=Σ[k=1,n]pikλkj
=pijλjj （∵k≠jならλkj=0）
=λjjpij
=λjpij　（∵λjj=λj）
=Pのj列にλjを掛けている

よって
PΛ=(λ1p1,λ2p2,...,λnpn)

これは
AP=(Ap1,Ap2,...,Anpn)に一致する。

ちなみにΛPを計算すると
ΛPの(i,j)成分
=Σ[k=1,n]λikpkj
=λiipij （∵i≠kならλik=0）
=λipij （∵λii=λi）
=Pのj列にλiを掛けている

よって
ΛP≠(λ1p1,λ2p2,...,λnpn)
となりAP≠ΛPです。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/01/19 19:12

「AV=ΛV」だとしたら実は

A=Λ
じゃない?

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/01/19 18:30

固有値の定義から

AV=A(v1, v2 ・・・ vn) = (λ1v1, λ2v2, ・・・λnvn)
固有値の入った対角行列Λを右から掛けると、
Vのn番目の列が λn倍されるから
VΛ = (v1, v2, ・・・vn)Λ=(λ1v1, λ2v2, ・・・λnvn)

AV=VΛ

は明らかです。

No.1 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/01/19 18:06

まず、AV=VΛのVとΛの記号の定義をきちんと書いて下さい。

「まとめる」だけでは意味不明です。また、あなたが読んだ解説のURLを貼って下さい。