微積 教えてください！

微積

教えてください！

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/21 20:59

∫_{0～1}2x(2x+1)/{(1+x^2)(x+1)^2}dx

=∫_{0～1}(2x+1){1/(1+x^2)-1/(x+1)^2}dx
=∫_{0～1}(2x+1)/(1+x^2)-(2x+1)/(x+1)^2}dx
=∫_{0～1}2x/(1+x^2)+1/(1+x^2)-(2x+2)/(x+1)^2+1/(x+1)^2}dx
=[log(1+x^2)+arctan(x)-2log(x+1)-1/(x+1)]_{0～1}
=(π/4)-log2+(1/2)

e^π>e^3>(8/3)^3=512/27>18>16=2^4
e^π>2^4
π>4log2
π/4>log2
(π/4)-log2>0
(π/4)-log2+(1/2)>1/2
∴
∫_{0～1}2x(2x+1)/{(1+x^2)(x+1)^2}dx>1/2