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「1から200までの数字をランダムに10個映し出すコンピューターがある。そのコンピューターn台を同時に作動させたとき、1から200までの数字が全て映し出される確率が初めて1/2を超えるような自然数nの値を求めよ。 」という問題を出されたので教えてください!

質問者からの補足コメント

  • すいません。ランダムにとは、異なる数字をランダムにという意味です。説明不足ですみません。

      補足日時:2022/01/26 01:28
  • 異なる10個の数字をランダムにでした。
    説明不足ですみません(*_ _)

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/01/26 01:31
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A 回答 (4件)

#2です。

ランダムという事で、1袋に食玩10個入りセット、ただし1袋中の食玩にダブりはない時に、何袋買えば50%以上の確率で200種類コンプリートできるかという問題になりました。
だから、ここはPC1台ずつ順番に数を映していくと考えた方が分かりやすい。n台目を映した時に、数字がm個集まっている確率をp(n,m)とします。ここでp(n,200)>=0.5となる最小のnを求めるのが目的になります。

最初の1台目の映す数字10個はダブりなしなので、p(1,10)=1です。p(1,m)は、m=10以外はすべて0。

p(2,10)は、新しい数が増えていないので、2台目は1台目と数がすべて一致する確率で、p(2,10)=10C10/200C10
p(2,11)は、1個新しい数字が出ているので、10個の数のうち9個が1台目に出た数で、残りは1台目にない190個の1個になる確率で、p(2,11)=10C9*190C1/200C10。よって10C9*190C1が1個だけ新しい数が出る組み合わせの数です。これを200個から10個を選ぶ組み合わせの200C10で割れば、その確率になります。

今度は、p(n,m)に飛びます。p(n,m)は、
p(n-1,m)の状態から、数字がすべて重複する確率
+ p(n-1,m-1)の状態から、1個だけ新しい数字が出る確率
+ p(n-1,m-2)の状態から、2個だけ新しい数字が出る確率
+ ・・+ p(n-1,m-10)の状態から、10個とも新しい数字が出る確率、となります。

つまり、p(n,m)= p(n-1,m ) * mC10 * 200-mC0 / 200C10
+ p(n-1,m-1) * m-1C9 * 200-m+1C1 / 200C10
+ p(n-1,m-2) * m-2C8 * 200-m+2C2 / 200C10
+ p(n-1,m-3) * m-3C7 * 200-m+3C3 / 200C10
+ p(n-1,m-4) * m-4C6 * 200-m+4C4 / 200C10
+ p(n-1,m-5) * m-5C5 * 200-m+5C5 / 200C10
+ p(n-1,m-6) * m-6C4 * 200-m+6C6 / 200C10
+ p(n-1,m-7) * m-7C3 * 200-m+7C7 / 200C10
+ p(n-1,m-8) * m-8C2 * 200-m+8C8 / 200C10
+ p(n-1,m-9) * m-9C1 * 200-m+9C9 / 200C10
+ p(n-1,m-10) * m-10C0 * 200-m+10C10 / 200C10

200-m+10C10 とか、分かりにくいですが、200-m+10 個の数から、10個取り出す組み合わせの事だと察してください。
Excelで計算しました。計算ミスしていなければ、111台のとき、コンプリートの確率が50%以上になります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2022/01/29 23:40

No.1のおっしゃる通り、「ランダム」と言っただけじゃ話にならんです。


(A) 「1から200までの数字」から10個を重複を許して選ぶのか、重複しないように選ぶのか。
(B) 「1から200までの数字」それぞれをどんな確率で選ぶのか。例えば、1〜100までの「数字」を選ぶ確率が0だということでも、ランダムには違いない。その場合、もちろん、コンピュータが何台あろうとも「1から200までの数字が全て映し出される確率」は0。
(C) そのコンピュータたちは互いにどんな影響を与え合うか。例えば一つのコンピュータが出した選択を、残りの全部が真似するというのでもランダムには違いない。ならばもちろん、コンピュータ何台あろうとも「1から200までの数字が全て映し出される確率」は0。

そこで、例えば
(A) 「1から200までの数字」から10個を重複しないように選ぶ。
(B) どの数字が選ばれるかに偏りはない。
(C) コンピュータたちは互いに独立である。
という場合について検討してみましょうかね。

 「アタリがa本入っている200本のくじについて、偏りなく10本まとめて抽いた中にアタリがs本ある確率」をQ(a,s)と書くことにする。ただしa>200の時には
  Q(a,s)=( s=10のとき1、それ以外は0)
とする。そして、「n台のコンピュータが選んだ「数字」の中に含まれていない「1から200までの数字」の個数がちょうどrである確率」をP(n,r)と書くことにする。そうすると、
 P(1,r) =( r=190のとき1、それ以外は0)
 P(n,r) = P(n-1,r)Q(r,0) + P(n-1,r+1)Q(r+1,1) + ... + P(n-1,r+10)Q(r+10,10)
ということで、P(n,0)を計算できれば解決。
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確かに、どうランダムかは大事です。


数字をランダムに10個映し出すのくだり、これはランダムに数字を10個、つまり重複もありえるのか、それとも異なった数字を10個なのかで違う。
前者なら、数字を10個は大した意味はない。
クーポン収集問題で、50%以上の確率で200種類の食玩をコンプリートするには、最低何個買えば良いか、という問題になります。
私が間違ってなければ1133個。
なので、これを10で割って切り上げて114台になると思います。

しかし、異なった数字を10個なんだろうなぁ。
この回答への補足あり
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「ランダム」がどのようにランダムなのかわからないので求められない.

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