a,bは互いに異なる自然数とします。どのような自然数nに対しても (a+bi)ⁿ が実数とならないこ

a,bは互いに異なる自然数とします。どのような自然数nに対しても
(a+bi)ⁿ
が実数とならないことは、高校数学の範囲でどのように証明するのでしょうか？

No.11 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/01/29 14:23

>この京都大学の問題のように示すことって出来ないのでしょうか？

aとbが互いに素でa≧2なら、2項展開するとnが奇数なら
虚数項の係数は最後のみbのみを含むが
他の項の係数はaを一個以上含むからゼロにはならない。
nが偶数だと虚数項の係数は全てaを含むが
そのaを括り出せばn=奇数の場合と同じ事になる。

でもa=1の時は、n=素数という条件がないと私にはおてあげです(^_^;)

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/07/01 21:40

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/29 09:27

#8#9の回答を取り消します

この回答へのお礼

はい。

お礼日時：2022/07/01 21:40

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/29 06:24

#8です訂正します

aとbが互いに素とする

(a+bi)^n=A+Bi
とすると
(a+bi)^(n+1)
=(A+Bi)(a+bi)
=Aa-Bb+(Ab+aB)i
が実数と仮定すると

Ab+aB=0

aB=-bA

aとbが互いに素だから
aの素因数はすべてAの素因数
bの素因数はすべてBの素因数
だから
{(A=a)&(B=-b)}または{(A=-a)&(B=b)}
だから
{(a+bi)^n=a-bi}または{(a+bi)^n=-a+bi}

(a+bi)^(n-1)=A+Bi
とすると
(a+bi)^n=Aa-Bb+(Ab+aB)i

Aa-Bb+(Ab+aB)i=a-bi
と仮定すると
Aa-Bb=a
Ab+aB=-b
(A-1)a=Bb
(A+1)b=-aB
{(B=a)&(A-1=b)}または{(B=-a)&(A-1=-b)}
{(B=-b)&(A+1=a)}または{(B=b)&(A+1=-a)}

(B=a)&(A-1=b)と仮定する
(B=-b)&(A+1=a)と仮定すると
a=-bとなってa,bが自然数である事に矛盾するから
(B=b)&(A+1=-a)
a=bとなってa≠bである事に矛盾するから

(B=-a)&(A-1=-b)
(B=-b)&(A+1=a)と仮定すると
-a=-bとなってa=bとなってa≠bである事に矛盾するから
(B=b)&(A+1=-a)
-a=bとなってa,bが自然数である事に矛盾するから

Aa-Bb+(Ab+aB)i=-a+bi
Aa-Bb=-a
Ab+aB=b
(A+1)a=Bb
(A-1)b=-aB
{(B=a)&(A+1=b)}または{(B=-a)&(A+1=-b)}
{(A-1=a)&(B=-b)}または{(A-1=-a)&(B=b)}

(B=a)&(A+1=b)と仮定する
(A-1=a)&(B=-b)と仮定すると
a=-bとなってa,bが自然数である事に矛盾するから
(A-1=-a)&(B=b)
a=bとなってa≠bである事に矛盾するから

(B=-a)&(A+1=-b)
(A-1=a)&(B=-b)と仮定すると
-a=-bとなってa=bとなってa≠bである事に矛盾するから
(A-1=-a)&(B=b)
-a=bとなってa,bが自然数である事に矛盾するから

(a+bi)^(n+1)は実数ではないから

(a+bi)^nは実数でない

この回答へのお礼

うーん…。

お礼日時：2022/07/01 21:39

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/28 22:01

aとbが互いに素とする

(a+bi)^n=A+Bi
とすると
(a+bi)^(n+1)
=(A+Bi)(a+bi)
=Aa-Bb+(Ab+aB)i
が実数と仮定すると

Ab+aB=0

aB=-bA

aとbが互いに素だから
aの素因数はすべてAの素因数
bの素因数はすべてBの素因数
だから
{(A=a)&(B=-b)}または{(A=-a)&(B=b)}
だから
{(a+bi)^n=a-bi}または{(a+bi)^n=-a+bi}

(a+bi)^(n-1)=A+Bi
とすると
(a+bi)^n=Aa-Bb+(Ab+aB)i

Aa-Bb+(Ab+aB)i=a-bi
と仮定すると
Aa-Bb=a
Ab+aB=-b
(A+1)a=Bb
(A+1)b=-aB
B=a
A+1=b
{(B=-b)&(A+1=a)}または{(B=b)&(A+1=-a)}
(B=-b)&(A+1=a)の時
a=-bとなってa,bが自然数である事に矛盾するから
(B=b)&(A+1=-a)
a=bとなってa≠bである事に矛盾するから

Aa-Bb+(Ab+aB)i=-a+bi
Aa-Bb=-a
Ab+aB=b
(A+1)a=Bb
(A-1)b=-aB
B=a
A+1=b
{(A-1=a)&(B=-b)}または{(A-1=-a)&(B=b)}
(A-1=a)&(B=-b)の時
a=-bとなってa,bが自然数である事に矛盾するから
(A-1=-a)&(B=b)
a=bとなってa≠bである事に矛盾するから

(a+bi)^(n+1)は実数ではないから

(a+bi)^nは実数でない

この回答へのお礼

うーん…。

お礼日時：2022/07/01 21:39

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/01/28 08:28

>tan(rπ) (r∈ℚ) ってどこから出てきたんですか？

tanθが有理数b/a(bとaは正の整数)なら
偏角θの複素数は
a+bi
で表せる。この時
θ=(p/q)π(pとqは正の整数)
で表せるなら
(a+bi)^qの偏角はpπだから
(a+bi)^qは実数になる。

ということ。でもこれはうまくいかない。

この回答へのお礼

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2009/09 …

この京都大学の問題のように示すことって出来ないのでしょうか？
tanなど持ち出さなくとも…

お礼日時：2022/01/28 15:33

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/28 04:09

r=√(a^2+b^2)

θ=arg(a+bi)
とすると
a+bi=r(cosθ+isinθ)
(a+bi)^n=(r^n){cos(nθ)+isin(nθ)}
が実数と仮定すると
sin(nθ)=0
だから
nθ=mπ
となる整数mがある
θ=mπ/n
a=rcosθ=rcos(mπ/n) が自然数
b=rsinθ=rsin(mπ/n) が自然数
だから
b/a=tanθ=tan(mπ/n) が有理数
↓
n=1,4
n=1の時
b=0となってbが自然数であることに矛盾するから
n=4
b/a=1
b=aとなってa≠bであることに矛盾するから
(a+bi)^nは実数でない

この回答へのお礼

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2009/09 …

この京都大学の問題のように解くことは出来ないのでしょうか？

お礼日時：2022/01/28 15:32

No.5 回答者： Dr-Field 回答日時： 2022/01/27 23:09

数学的帰納法じゃダメなのでしょうか？

n=1 → a+bi
n=2 → (a^2-b^2)+2abi
n=k → A+Bi ならば、
n=k+1 → (A+Bi)(a+bi)
=Aa+Abi+aBi-Bb
=(Aa-Bb)+(Ab+aB)i

この回答へのお礼

Ab+aB≠0 と言える根拠は何ですか？

お礼日時：2022/01/27 23:59

No.4 回答者： cage64 回答日時： 2022/01/27 19:03

tan(r*π)が有理数になるような有理数 r は何？（答:分母が1か4)という問題ですよね。

検索すればいろいろ出てくるはずですが、例えば、
http://falmath.starfree.jp/blogs/sankakuhiyuuris …
をご覧ください。

この回答へのお礼

tan(rπ) (r∈ℚ) ってどこから出てきたんですか？

お礼日時：2022/01/27 21:15

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/01/27 17:52

>θ＝πの時、(a+bi)ⁿは実数じゃないの。

無理無理。θ=πになる異なる自然数(正の整数)a、bが無い。

この回答へのお礼

ですよね。

お礼日時：2022/07/01 21:37

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2022/01/27 17:08

a+bi＝r(cosθ+isinθ) , r=√a²+b²

ドモアブルの定理から
(a+bi)ⁿ＝rⁿ(cosnθ+isinnθ)
θ＝πの時、(a+bi)ⁿは実数じゃないの。

この回答へのお礼

ハア？？

お礼日時：2022/07/01 21:36