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線形代数について質問です。
1と4が分かりません。
これは覚えるようなものなのか、もし反例があったら教えていただきたいです。お願いします。

「線形代数について質問です。 1と4が分か」の質問画像
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A 回答 (4件)

>4番はAの全ての固有値が0以外の実数であれば、


>A^2は全て正定値であるという考えで大丈夫ですか?
はい。

>1番は「異なる」ではなく「互いに線型独立の3つのx」
>であれば大丈夫ということでしょうか?

例えば固有値が正の固有ベクトルとほぼ同方向
の3本では駄目でしょう。
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この回答へのお礼

確かに同じような向きではいけないですね。
これで定期試験は良い点が取れそうです。
ありがとうございました!

お礼日時:2022/01/31 09:36

問題が間違っているのではありません


問題は

3次対称行列Aの正定値性に関する記述や判定法について,その正誤をチェックマークで特定せよ

というのだから


異なる3本のxについて0<Q(x)となったので,Aは正定値である

というのは誤りだから
誤をチェックマークで特定すれば正解になるのです

なお
正定値行列の定義は

n × n 実対称行列 A が正定値であるとは、
n 個の実数を成分に持つ零ベクトルでない任意の列ベクトル x に対して、
二次形式 txAx が必ず正となるときに言う。

です
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。
正定値に対する理解が深まりました。
本当にありがとうございました!

お礼日時:2022/01/30 22:12

1


A
=
(1,0,0)
(0,0,0)
(0,0,0)

異なる3本の
x1=(1;0;0)
x2=(2;0;0)
x3=(3;0;0)
について

Q(x1)=Q(1;0;0)
=
(1,0,0)(1,0,0)(1)
.......(0,0,0)(0)
.......(0,0,0)(0)
=1>0

Q(x2)=Q(2;0;0)
=
(2,0,0)(1,0,0)(2)
.......(0,0,0)(0)
.......(0,0,0)(0)
=4>0

Q(x3)=Q(3;0;0)
=
(3,0,0)(1,0,0)(3)
.......(0,0,0)(0)
.......(0,0,0)(0)
=9>0

となるけれども
x4=(0;1;0)
について

Q(x1)=Q(0;1;0)
=
(0,1,0)(1,0,0)(0)
.......(0,0,0)(1)
.......(0,0,0)(0)
=0
だから

Aは正定値でない
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。反例を見せて頂きこの問題が間違っていることがわかりました。
では、この問題のどの部分を書き直せば、この問題文は正しいと言えるようになるのでしょまうか?そもそもこのような判定の仕方はないのでしょうか?何度も聞いてしまい申し訳ありません。

お礼日時:2022/01/30 17:43

1:


「異なる」だけじゃ全然だめ。例えば
(1、1、1)、(2、2、2)、(3、3、3)
じゃ判定にならない。

4:

固有値の定義から
AAx=Aλx=λ²x
つまりA²の固有値は全て正
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。4番はAの全ての固有値が0以外の実数であれば、A^2は全て正定値であるという考えで大丈夫ですか?
1番は「異なる」ではなく「互いに線型独立の3つのx」であれば大丈夫ということでしょうか?
何度も聞いてしまいすみません。

お礼日時:2022/01/30 17:31

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