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a,b,c は整数として、a2+ b2 = c2 が成り立つとき、a、b のうち少なくとも 1 つは 3 の倍数になります。ab が 6 の倍数であることを示すにはどうすればいいですか?

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A 回答 (4件)

じつは、、a2+ b2 = c2 がなりたつとき


a、b のうち少なくとも 1つは偶数でなければならない。
かりにa、b両方とも奇数ならば c2は偶数の平方数だから
4でわりきれる、つまり c2≡0(mod4)
一方a≡±1、b≡±1(mod4)だから
a2+ b2≡2(mod4)これは矛盾だから
a、b のうち少なくとも 1つは偶数でなければならない。これと
a、b のうち少なくとも 1つは3の倍数でなければならないことから
abは6の倍数になる。
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これ、「ピタゴラス数」で検索すると、無数に解説が見つかる。


この件に関してもいろいろな証明が解説されているので
面白いです。
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a,b,cは3の倍数・3で割ると1余り・3で割ると2余り、のいずれか。


a≡0,1,2(mod3)
b≡0,1,2(mod3)
c≡0,1,2(mod3)

c²≡0²,1²,2²≡0,1(mod3)
同様にa²≡0,1(mod3) b²≡0,1(mod3)

a²+b²が≡0,1(mod3)になる為には、0と0,又は0と1。1と1では無い。
少なくとも1方は≡0なので、a,bの少なくとも1方は3の倍数。

次にa,b,cは奇数か偶数のどちらかだから
a≡0,1(mod2)
b≡0,1(mod2)
c≡0,1(mod2)
c²≡0²,1²≡0,1(mod2)
同様にa²≡0,1(mod2) b²≡0,1(mod2)とも書ける。
これも足して0,1(mod2)になるには、どちらか一方は≡0
つまり、偶数で無いといけない。

両方をあわせると、1方は3の倍数、片方は2の倍数。
だからabは6の倍数
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ピタゴラス数の特徴の一つとして、aかbのどちらかは偶数というのがあります。


https://okwave.jp/qa/q1039599.html
なので、abは6の倍数になります。
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