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11で割ると1余り、5で割ると4余る自然数のうち、3桁で最小のものを求めよという問題で
合同式を用いて解くことは出来ますか?

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

もとめるのをxとすれば


x≡1(mod11)
x≡4(mod5)
という連立合同式を解くことになる。
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>合同式を用いて解くことは出来ますか?



出来るでしょうね。
前に 似た様な質問をしませんでしたか。
その時は 3桁で 最大の数だったような。

不定方程式としても簡単に 答えが出ますよ。
求める自然数を N 、11と5で割った 商をそれぞれ a, b とすると、
99<N=11a+1=5b+4<1000 となります。
99<11a+1<1000 → 8<a<111 。
99<5b+4<1000 → 19<b<199 。
11a+1=5b+4 → 11a-5b=3 ・・・① 。
11-10=1 は容易に思い付きますから 11*3-5*6=3 ・・・②
①-② 11(a-3)-5(b-6)=0 → 11(a-3)=5(b-6) 。
11と5は 互いに素ですから、k を任意の整数として、
a-3=5k → a=5k+3 , b-6=11k → b=11k+6 。 
8<a<111、19<b=199 から 最少の k は k=2 。
つまり a=13, b=28 で、N=144 。
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11で割ると1余る数は


11 × m + 1 (mは非負の整数)

3桁の最小は
11 × 9 + 1 = 100 つまり m ≧ 9

11 × m + 1 =
(11 × m + 1) mod 5 = ((11 mod 5) × (m mod 5) + 1) mod 5
=(1 × (m mod 5) + 1) mod 5
= (m + 1) mod 5 = 4
だから、mの最小値は 13
11 × 13 + 1 = 144
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