背理法がわかりません！

「√2が無理数であることを用いて
①a,bが有理数でb≠0ならばa+b√2は無理数である
②a,bが有理数でa+b√2=0ならばa=b=0である
を証明せよ」という問題です
チンプンカンプンなのでどなたか分かる方教えていただけると助かります！

質問者からの補足コメント

• 結論の逆が間違っていることを言って元の結論が正しいことを証明するんですよね！
  でもどうやって√2を使えばいいのかがわかりません…

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/02/22 19:59

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/02/24 11:30

有理数をどう四則演算しても

ゼロ割以外は有理数
という定理が前提なら簡単。

有理数の定義だけ使ってねという話だと
少しだけ手間かかるけど。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2022/02/25 20:45

No.8 回答者： konjii 回答日時： 2022/02/23 12:21

実数は有理数と無理数から出来ています。

有理数≠無理数です。
①a,bが有理数でb≠0ならばa+b√2は有理数であるとして、矛盾を導く方法です。
a+b√2＝ｃ（ｃは有理数）
√2＝(c-a)/b (c-a)は有理数、ｂも有理数、(c-a)/bは有理数の分数で有理数
よって、√2も有理数になるが√2は無理数なので矛盾する。したがって、
a+b√2は有理数であるとした仮定が間違い。

②a,bが有理数でa+b√2=0ならばa=b≠0であるとした場合
√2＝-a/b -aは有理数、ｂも有理数、-a/bは有理数の分数で有理数
よって、√2も有理数になるが√2は無理数なので矛盾する。したがって、
a=b≠0であるとした仮定が間違い。

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/02/23 04:22

ん～と, 「結論の逆が間違っていることを言って元の結論が正しいことを証明する」って, どういう形を意図してます? その内容によっては

あなたが「背理法」を誤解 (ないし勘違い) している
のかもしれないんだけど.

いちおう形を書いておくと, 「○○ならば××」という形の命題に対して, 「××」の否定を仮定して＊なんらかの＊矛盾を導く, ってのが「背理法」ね. だから, ①だと「a+b√2は無理数」の否定を仮定して矛盾を導くことになる.

で, この問題の場合「√2が無理数であることを用いて」と親切に巨大なヒントまで書いてくれている. こう書いてあるなら, 「『√2 が無理数ではない』という結論が出てくればいいんだな」って想像できるのよ.

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2022/02/22 23:25

②ですが

a+b√2=0

となるためにはまずb√2が有理数にならないといけないですよね。√2にかけて有理数になる数はどんなものかを考えればすぐに証明できました。

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2022/02/22 23:17

①ですが

a+b√2=c

と置いて、cが無理数である事を証明すればいいわけですよね。だとすればcを有理数とすると「√2は有理数」となる式が作れます。

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2022/02/22 23:10

補足を読んで気になったのですが、ひょっとして「√2が無理数である事をどこで用いたらいいか分からないから証明が思い付かない」と思っておられるのでしょうか。

だとしたら話が逆です。√2が無理数である事を利用する所が分かっているから証明できるのではなくて、証明を思い付いた結果として√2が無理数である事が必要になるわけです。

そもそもプロがやっている本物の証明では「√2が無理数である事を用いる」などと言った条件は何もありません。何も手がかりがない所から証明して行くのがプロです。第一プロが取り組む証明は「証明できるかどうか分かっていない」と言う問題ですし。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2022/02/22 20:16

① 「a、b、a+b√2がどれも有理数で、b≠0であると仮定する。

」
という所から出発して、
「よって√2は有理数である」
を証明する。

②「a、bは有理数で、a, bの少なくとも一方は0ではなく、a+b√2=0であると仮定する。」
という所から出発して、
「よって√2は有理数である」
を証明する。

どっちも最後は、「だけど事実√2は無理数である。てことは、仮定が誤りなのだ。」で証明が完成です。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/02/22 20:15

①

a+b√2が有理数だとすると矛盾が起こる。だから無理数と言う。

②
a+b√2=0の時、a≠0又はb≠0と矛盾が起こる。だからa=b=0だと言う。

①だけやる、②は自分で考える
a+b√2は有理数としたから、a+b√2=m/n[m,nは整数]
√2=(m/n - a)/b=(m-an)/nbで整数/整数となり有理数。
これは√2が無理数で有る事に矛盾。
したがって、a+b√2は無理数。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2022/02/22 19:46

背理法の原理はお分かりでしょうか。

①の問題で言えばa+b/√2が無理数である事を証明したいわけですから、それを有理数(例えばq/p)と仮定する事になりますが。