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数学の質問です。
下記のサイトで三角関数の媒介変数表示について調べていたところ、「三角関数の対称式と媒介変数」という見出しにある問題の解説で、
「0≦θ<2πの時、−√2≦x≦√2 になるよね」
という一文がありますが、ここでいう0≦θ<2πというのは、記事の制作者様が決めた範囲であって、普遍的なものではないですよね?
語彙力が乏しくて理解しづらいかもしれませんが、なんとなく意図を読み取ってくださった方がいらっしゃいましたら、質問に答えてくださると幸いです。

https://xn--48s96ub7b0z5f.net/sankakukansuu-baik …

質問者からの補足コメント

  • 前回の質問で、
    x²+y²=9
    が、円を表しているため0≦θ<2π とわかりましたが、今回の問題は円を表していません。
    このような場合、0≦θ<2πと定義していいのかがわかりません。
    そもそも、私の解釈が間違っているのでしょうか?

      補足日時:2022/02/24 17:41
教えて!goo グレード

A 回答 (9件)

>「0≦θ<2πの時、−√2≦x≦√2 になるよね」


うん、そういってるし、正しい。
範囲を好きに定義してその範囲で何が起きるか述べているだけ。
0≦θ≦π/2
ならxの取りうる範囲はもっと狭くなる。

0≦θ≦2πという範囲は
cosθとsinθが、周期が2πの周期関数である事を考慮すると
cosθ+sinθの取りうる全ての値を網羅するのに
最小限の範囲のひとつだ。だから
-√2≦x≦√(2) はθの範囲に関わらず必ず成立つ。
そういう意味では0≦θ≦2πはxに対して特別な意味を持つと言える。
但し、0と2πに意味があるんじゃなくて、範囲のサイズが2π
である事が肝心。
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この回答へのお礼

返信が遅れてすみません!
この単元に対する理解が出来てないので、もう一度基礎から始めることにしました...!
ありがとうございました!

お礼日時:2022/03/10 15:11

問題にはθに関する条件は何も書かれていませんので、


θは0より小さい値もとるし2π以上の値もとります。
定義域は実数全体です。

「0≦θ<2πの時、−√2≦x≦√2 になるよね」というのは、
問題の定義域が 0≦θ<2π といっているわけではありません。
まぎらわしいのであれば、
[三角関数の公式を利用する媒介変数]の問題の解説と同じように、
「-1≦sin(θ+π/4)≦1だから、−√2≦x≦√2 になるよね」で良いと思います。

円の問題の解説もθに関しては何も書かれていません。
「x=3cosθ、y=3sinθ (0≦θ<2π) とおける」としても差し支えはありませんが、
解説のようにθについて触れなくても問題はありません。
この場合の定義域は実数全体です。
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「0≦θ<2πの時、−√2≦x≦√2 になるよね」という文は、


0≦θ<2π の時に −√2≦x≦√2 になるということしか言ってません。
そして、その内容は正しい。
この文から θ の範囲は 0≦θ<2π にすべきだ
という考えを引っ張り出した人がいたとしたら、
単にその考えが妄想であるだけです。
誰もそんなことは言っていない。
θ の範囲は、幅が 2π 以上あれば十分で、
勝手に 0≦θ<2π だとか決めたとしたら「一般性を欠きます」。
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ちなみに、円のやつでも


θの範囲の決め方は複数あります
例えば2πから4πでもよいですが、あえてこの範囲にする人は少ないですかね…
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参考


サイクロイド
などの媒介変数表示では
θの範囲を限定しなければ、同じ波形が繰り返し現れるし、θの範囲を限定すれば、当然描かれるグラフの範囲も限定されるが、θの範囲を0から2πに限定するのが普通と言う事ではない
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x,yだけの式を媒介変数表示するなら


θの範囲が限定されることもありましよう
でもはじめから、媒介変数表示されてるなら、θの範囲はある意味自由に設定可能で、θの範囲によってx,yの範囲が変わってくる、グラフを描く範囲が変わってくると言う事になりましょう
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No.2 です。

ちょっと補足。

たとえば
 θ/2 とか θ/a
などを扱う場合には、「0 ≦ θ < 2π」と設定すると計算結果が「0~ 2π」の範囲になることが保証できない場合があります。

そういう場合には「0 ≦ θ < 2π」という設定は行わずに
「-∞ < θ < ∞」→「θ = θ0 ± 2mπ(0 ≦ θ0 < 2π)」
という前提で議論する必要があります。
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>ここでいう0≦θ<2πというのは、記事の制作者様が決めた範囲であって、普遍的なものではないですよね?



三角関数は周期を 2π とする周期関数ですから、ある θ が条件を満たせば、整数 m を使って
 θ ± 2mπ
も同じ条件を満足します。

それを分かった上で、「± 2mπ」は省略して θ だけで議論するときには、
 0 ≦ θ < 2π
という条件で議論することが多いです。
(「θ = 2π」のときには「θ = 0 + 2π」なので「θ = 0」で代表できるため、「2π」には等号を含めない)

その意味で「普遍的」ではないが「一般的」です。
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θとxの対応関係の一例です


θの範囲が異なると、xの範囲も違ってくる可能性があります
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