青チャート数A、整数の性質で質問です。 「nは自然数とする。n、n+2、n+4が全て素数であるのはn

青チャート数A、整数の性質で質問です。
「nは自然数とする。n、n+2、n+4が全て素数であるのはn=3の場合だけであることを示せ。」
解説のnが5以上の素数のときで、nを(i)3k+1と、(ii)3k+2、の2つに場合分けするのは理解できたのですが、その後の
(i)k+1は2以上の自然数であるから、n+2は素数にならない理由と、(ii)k+2は3以上の自然数であるから、n+4は素数にならない理由が分かりません。

No.1 ベストアンサー 回答者： metabolian 回答日時： 2022/03/01 19:10

「kは自然数」としたので、kは1以上。

すると、k+1は2以上、k+2は3以上です。

n=3k+1のとき、n+2=3(k+1) …①
n=3k+2のとき、n+2=3(k+2) …②
と表せて、コレで
「①で、k+1=1」とか、
「②で、k+2=1」になるようなら、
n=3（←素数！）となり、ワンチャンあった
のですが、そうなりませんでした！
…という意味です。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2022/03/01 19:40

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/03/01 19:18

書いて有る通りなんだけど・・・。

nが5以上の素数の時、と言う大前提条件がついている。
n=3k+1なんだから、k=1だったらn=4なるから、大前提に反してる。
だから、kは2以上。だからk+1も2以上
∴n+2=3k+3=3(k+1)で3×自然数となり合成数。
k+1が1だったら、3(k+1)=3で素数なってしまう。
[k+1は1じゃ無いぞ、と言いたいわけ]

n+4の時も同様な考え方。

この回答へのお礼

理解できた!難しく考えてました。ありがとうございます!

お礼日時：2022/03/01 19:39

No.2 回答者： metabolian 回答日時： 2022/03/01 19:15

【訂正】

n=3k+1のとき、n+2=3(k+1) …①
n=3k+2のとき、n+4=3(k+2) …②
（中略）
になるようなら、
n+2=3（←素数！） …①‘
または
n+4=3（←素数！） …②‘