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△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点X,Yを
線分BXの長さ=線分CYの長さ
となるようにとります。ただし、B≠X,C≠Yとします。このとき、
線分XYの長さ<辺BCの長さ
となることは、中学数学ではどのように証明するのでしょうか?

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A 回答 (16件中1~10件)

もっとストレートに行きます。


中学生でも理解出来ると思います。

補題が要ります。
対応する2辺が等しい△では、2辺を挟む角が大きい方が対辺が長い。

(補題の証明)
図の上で赤が重なってる図が一番右です。
青線で挟まれた角の2等分線がAC'と交わる点をPとします。
2個の小さい△は合同なので、CP=C'P

△の2辺の和は、残りの辺より大きい。
これより、BC<BP+CP=BP+CP'=BC'  つまりBC<BC'

本題の証明
図の下
ABCは△なので、∠B+∠C=□+△+○ < 180°
また、□+△+◎=180°

これにより○<◎

補題より、XY < BC
「△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点X,」の回答画像10
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この回答へのお礼

あなたに会えてよかった

このような素晴らしい解き方があるとは…。
ありがとうございました。

お礼日時:2022/03/07 15:40

No.15様


これで終わりにします。
ならば、「」内を数学で証明しないと駄目なのです。

私は「」内の証明はしていません。
XY>BCならば、ABCは△にはならない、と言ってます。
BX≠CYなんかは証明していません。
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題意の対偶は


「線分XYの長さ>辺BCの長さならば、線分BXの長さ≠線分CYの長さである」 t_fumiakiさまが証明したように正しい。
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>>線分BXの長さ=線分CYの長さだから、BC<XYは有りえないのです。



そうですよ、「見た目や雰囲気では」です。
話が最初に戻りましたね。

何故、BX=CYならXY<BCなのか?を数学で証明しないといけないのです。
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線分BXの長さ=線分CYの長さだから


下図の通りのBC<XYは有りえないのです。
「△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点X,」の回答画像13
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>>線分BCと線分XYの長さの差が最大になるのは、A=X,またはA=Yの時です。



だから?
下図の通りBC<XYが有りえるのです。
「△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点X,」の回答画像12
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線分BCと線分XYの長さの差がなくなるのは、B=X,C=Yの時で


線分BCと線分XYの長さの差が最大になるのは、A=X,またはA=Yの時です。
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この回答へのお礼

どう思う?

線分XYが最も短い場合に示したとしても、線分XYがそれより長い場合について示したことにはならないのでは?

お礼日時:2022/03/07 15:23

No.8様


>>①、②から、BC-XY=BC-AC+XB=BC+ABーAC>0

これはxがAと重なってる場合ですよ。
AXYは△じゃ無いですよ。
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では、差をとらずに



ΔABC、ΔAXYの三角形の書ける条件は
AB+AC>BC‥①
AB+BC>AC‥②
AX+AY>XY‥③
AB<ACとして、AB=XBの場合、
③はAX+AY≧XYとなるが、AX=0、AY=AC-XBから
0+ACーXB=XY>0
①、②から
BC-XY=BC-AC+XB=BC+ABーAC>0
従って、
BC>XY
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この回答へのお礼

うーん・・・

AB≠XBの場合はどうなるのでしょうか?

お礼日時:2022/03/07 12:14

No.6様



不等号の2式の辺々同士を引き算するのは禁じ手ですよ。

8<10
1<9

辺々同士を引き算すると、7<1
これって、変でしょ?
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