色の知識で人生の可能性が広がる!みんなに役立つ色彩検定 >>

大学入試数学の整数問題です。

8/9<q/p<9/10を満たす自然数p.qで最小となるpを求めよ。

回答ではq=p-k kは自然数置いてます。


ただ、もっと自然な発想があるのではないかと思います。

何かいい解放があったら教えてください

教えて!goo グレード

A 回答 (9件)

再訂正です



8/9<q/p<9/10…(1)

(1)から
8/9<q/p
↓両辺に9pをかけると
8p<9q
↓両辺に-8pを加え左右を入れ替えると
9q-8p>0
↓左辺は整数だから
9q-8p≧1
↓両辺に10をかけると
90q-80p≧10…(2)

(1)から
q/p<9/10
↓両辺に10pをかけると
10q<9p
↓両辺に-10qを加え左右を入れ替えると
9p-10q>0
↓左辺は整数だから
9p-10q≧1
↓両辺に9をかけると
81p-90q≧9
↓これに(2)を加えると

p≧19

8/9<17/19=(8+9)/(9+10)<9/10
だから

p=19
    • good
    • 0

ちょっと考えたんだけど, 「都合のいい数字」であることを使うしかないような気はする. 例えば


条件から q/p = (8m+9n)/(9m+10n) となる正整数 m, n が存在する. ここで 右辺の分子・分母をそれぞれ q, p とすると
m = 9p-10q, n = 9q-8p
なので「m と n の公約数の集合」と「p と q の公約数の集合」は一致する.

今 q/p の p を (正で) 最小化したいのだから, q/p は既約分数であり p と q は互いに素である. つまり m と n も互いに素でなければならず, しかも p = 9m+10n を最小化するのだから m と n は小さいほどよい. よって m=n=1 とおいて p = 19 が最小.
とか.

数字が好都合なので簡単にできてるが, 一般的にはたぶん面倒くさい.
    • good
    • 0

訂正です



8/9<q/p<9/10

8p<9q
10q<9p

0<9q-8p
0<9p-10q

9q-8p=1…(1)
9p-10q=1…(2)
とする

(1)の両辺に10をかけると
90q-80p=10…(3)
(2)の両辺に9をかけると
81p-90q=9
↓これに(3)を加えると

p=19
    • good
    • 0

あ, p>11 は「明らか」じゃないや.



まあ問題の不等式の分母 p を払うと
8p/9 と 9p/10 の間に整数が存在する
という条件になるから, 「8p が 9 の倍数よりちょっと小さい」ことが要求される. ってことは
p = 9k-1, k は整数
ってところを狙うのがいいと思う.

問題の構造を見抜けば
(8+9)/(9+10) = 17/19
がほぼ一瞬で出るけど, さすがにこれで「解答」とするわけにはいかないだろう.
    • good
    • 0

何の戦略もなく p=1から計算。


17/19=O.8947・・・

19だね。
この辺まではqは最大p-1~p-3くらいチェックすればいいから
それ程手間じゃない。根性で見つかる(^_^;)
    • good
    • 0

9+10 = 19


って書いても点にはならないが.

分母払って 8p/9 < q < 9p/10 で p>10 は明らかだから, p=11 から順に調べるとか?
    • good
    • 0

8/9<q/p<9/10


8p<9q
10q<9p
80q<72p<81q

10q/9<p<9q/8

q=73とすると

10q/9=730/9<82<657/8=9q/8

p=82

8/9<0.89<q/p=73/82<0.891<0.9=9/10


p=82
    • good
    • 0

8/9<q/p<9/10 分数を小数に直したら。


8/9=0.888… , 9/10=0.9 ですから、
q/p=0.89 なら 条件を満たしますね。
従って q/p=0.89=89/100 → p=100, q=89 。
見当違いだったら、ごめん。
    • good
    • 0

p.qで最小


ってどういう意味?
    • good
    • 0
この回答へのお礼

p,qが自然数
pが最小となるときのpを求めよ

って意味です

お礼日時:2022/03/05 20:56

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

教えて!goo グレード

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング