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大学入試数学についてです。

実数a/bをtという一文字で表していいのは何故ですか?


a.b独立に変数をtで表せることに違和感を覚えます。

たしかにa.bを全実数で動かせば全ての実数値をa/bがとることはなんとなくわかりますが違和感があります。



また、似たような違和感にcos2θが-1〜1までの全ての実数を取れることにも違和感があります。cosθのθを2倍にしてるんだから飛び飛びになるんじゃないか的なことを思ってしまうんです。
実数について深い知識がある方は教えてください。

A 回答 (4件)

ちなみにθの補足


実数の完備性
で検索してみれば解説のサイトが見つかることでしょう
それは簡単に言えば
実数θは穴なくギュ~ギュ~に詰まっていると言う事です
と言う事は、2θにおいて穴となりそうな値を埋めてくれるθが存在していると言う事になりますよね
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a/bをt一文字で表すと言うのは、表していい云々ではなくて「表す事にする」と言う単なるお約束です。

そしてaとbの値をそれぞれ独立に変えればa/bの値も変わるわけですから「aとbの値を変えればa/b(=t)も変わる」と言う事になって数学上の不都合は何もありません。不都合がなければ数式の書き方なんかはある意味好き勝手に変えてしまって構いません。

後者の方ですが、θを連続的に変えたら2θも連続的に変わります。θを2倍にしようが3倍にしようが飛び飛びになんかなりません。逆になぜ飛び飛びになると思うのかの方が理解不能です。グラフを描けば一目瞭然ですし。
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簡単に



a:bの比の値がtだということを
a/b=t と表記しますよね
→ a/bが出現したとき それはa:bの別表現なんで 
その比の値をtと置いてやれば 
比と比の値の表記の仕方を意識して
a/b=t
また
tを固定すれば a=tbでaはbに比例で、比例定数がtであるという事
tを別の値に固定しなおせば a,bの対応関係をすべて網羅できる
(当然ながら 別視点で aを固定なら1/bとtは比例関係で(tとbは反比例で
比例定数がa、aを別の値に固定しなおしていけばtとbのあらゆる対応関係を網羅している)

cosa の実数aが連続性を有しているから
cosaは-1から1の範囲で連続 には納得なのでしょうか?
ならば、cos(a/2)について 
連続なaをさらに半分に詰めたのだからa/2も連続
このとき逆に見れば a/2が連続なら 2倍にしたaも連続
このことから結局 連続な実数aを2倍にして2aとしても途切れることなく連続
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>実数a/bをtという一文字で表していいのは何故ですか?



問題に依って 異なります。
そうして良い場合と、ダメな場合があります。

>cos2θが-1〜1までの全ての実数を取れることにも違和感・・・

cosX は -1~1 と決めたのですから X=2θ としても 同じことです。
y=cosθ のグラフを 習った筈ですが。
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この回答へのお礼

どういう場合に良くて、どういう場合にダメなんですか?

お礼日時:2022/03/05 21:09

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