積分の問題について

このような問題で質問です

質問者からの補足コメント

• （2）の解答ですがどのような操作をしているんですか？

  
    補足日時：2022/03/05 20:56

No.6 回答者： thgir 回答日時： 2022/03/06 21:18

endlessriverさま

貴方のプロフィールページの
「やらかし」ってなんんですか？
ブーメラン？

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/06 18:23

#3です。

失礼しました。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/06 16:05

#2の方の通り

f(0)=1
ならば
f(x)は0≦x≦a(1)=1で最大値
M=1
をもつから

a[n]=∫[0,a[n-1]] f dx < Ma[n-1] < M^(n-1)a(1)=a(1)

M=1
だから
M^(n-1)=1
だから

a[n]→0となりません

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/06 08:12

これは無駄なことをして訳が分からなくなっている。

α=0 とすればよいだけ。すると

　a[n]=∫[0,a[n-1]] f dx < Ma[n-1] < Mⁿ⁻¹a₁
したがって
　a[n] → 0
すると、任意の ε>0 に対して、
　∃n, a[n]<ε
だから、ε=1/2002 とすればよい。

No.2 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/03/06 03:43

No.1の疑問についてですが、解答者の意図としては与えられた条件がx>0で0<f(x)<1であってx=0が含まれていないことに気を付けたのだと思います。

もしf(0)=1ならばM＝１となってこの論法が成立しない。そこで小さいαを取って０を含む積分区間とそうでない区間に分けたのだと思います。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/03/06 01:16

なんか背理法っぽいけど実際には背理法じゃないし... う～ん, 「なんか変な方法」としかいいようがないなぁ.

(3) の条件から a_m < M a_(m-1) (m≧2), でダメな理由ってなんだろう.