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お世話になっております。
微分を勉強しております。
標記の件について、微分の定義に基づき、下記のような変形から証明をスタートしている参考書が多いかと思いますが、最初の式変形についてわからない点がございます。

f(g(x))' = lim f(g(x + Δx)) - f(g(x)) / Δx
以降省略

最初の式変形の分子第1項ですが、なぜf(g(x) + Δx)ではなく、f(g(x + Δx))となるのでしょうか。
f(g(x + Δx))としてしまうと、関数gに関して、xを微少量増加させるという意味になってしまい、関数fを微分するという左辺の式と同値とならないように思うのですが、私の理解が欠けておりますでしょうか。
一方、f(g(x) + Δx)として計算を進めると、うまく証明ができません。

有識者の方、ご指導のほど何卒宜しくお願い致します。

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    ご回答ありがとうございます。
    本質を突いたご回答のように感じておりますが、2点追加で質問させてください。
    ①lim[Δx→0] (f(g(x)+Δx) - f(g(x)))/Δx=lim[Δx→0] (6x + 2Δx - 6x)/Δx=2
    この部分の式変形についてもう少し詳細を教えていただけますでしょうか。
    ②必要なのは f(g(x)) の Δxに対する変化であって、f(x) の Δxに対する変化ではありません。
    この部分が、私が微分の本質を理解できていない部分な気がしております。
    lim[Δx→0] (f(g(x)+Δx) - f(g(x)))/Δxとしてしまうと、f(g(x))ではなくf(x) の Δxに対する変化を求めてしまうということでしょうか。
    宜しくお願い致します。

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/03/08 20:33
  • どう思う?

    ご回答ありがとうございます。xの微少変化がgを通じてfに伝わるという点はよく理解いたしました。
    しかしながら、f(g(x))' = lim f(g(x) + Δx) - f(g(x)) / Δxとするとうまくいかない理由がまだ釈然としません。
    左辺はあくまでも関数fの微分ですから、gを介さずに直接fについてxを微少量増加させても結果が一致しなければおかしいと思うのですが、なぜこの方法ではうまくいかないのでしょうか。
    もし何か知見等ございましたらいただけますと幸いです。
    どうぞ宜しくお願い致します。

    No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/03/08 20:44
  • どう思う?

    ご回答ありがとうございます。xの微少変化がgを通じてfに伝わるという点はよく理解いたしました。
    しかしながら、f(g(x))' = lim f(g(x) + Δx) - f(g(x)) / Δxとするとうまくいかない理由がまだ釈然としません。
    左辺はあくまでも関数fの微分ですから、gを介さずに直接fについてxを微少量増加させても結果が一致しなければおかしいと思うのですが、なぜこの方法ではうまくいかないのでしょうか。
    もし何か知見等ございましたらいただけますと幸いです。
    どうぞ宜しくお願い致します。

    No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/03/08 20:46
  • うーん・・・

    ご回答ありがとうございます。
    私の想定していた式は、f(g(x)+⊿x)-f(x)ではなく、f(g(x)+⊿x)-f(g(x))となります。
    ただ、ご指摘いただいたことをきっかけに、f(g(x)+⊿x)-f(g(x))ではなく、f(g(x)+⊿g(x))-f(g(x))としなければならないような気がしてきました。ΔxとΔg(x)は当然値が異なるのでうまくいかないのかもしれないと思っております。

    No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/03/09 18:57
教えて!goo グレード

A 回答 (16件中1~10件)

#1 で指摘したんだけど, 「f(g(x))'」という書き方が雑. そして, それは「左辺はあくまでも関数fの微分ですから」というあなたの認識とも関連しているような気がする.



f'(g(x)) を計算したいのであれば
[f(g(x)+Δx) - f(g(x))] / Δx
でいい. ただしこれは「f(t) という関数の t = g(x) における微分係数」であって, 「合成関数 f(g(x)) の微分」ではない.

「f(g(x)) の微分」は通常「h(x) = f(g(x)) であるような関数 h(x) の微分」であり, それは
[h(x+Δx) - h(x)] / Δx = [f(g(x+Δx)) - f(g(x))] / Δx
でなければならない.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
何を何で微分しようとしているのか、その本質部分を見誤っていたようです。自分の式が、fをt=g(x)で微分しようとしているという説明でようやく腑落ちしました。
最初の質問の段階でそれを見抜いていた点、自分の式がどういう意味を持っているのかをご教示いただいた点の2点から、ベストアンサーに選ばせていただきました。
ほかの方もご回答誠にありがとうございました。

お礼日時:2022/03/09 19:10

補足に「しかしながら、f(g(x))' = lim f(g(x) + Δx) - f(g(x)) / Δxとするとうまくいかない理由がまだ釈然としません。

左辺はあくまでも関数fの微分ですから」と書かれていますが、そこが誤った認識の原因だと思われます。
f(g(x))'は関数f(g(x))のxによる微分であって関数fの微分ではありません。


f(x)=√x (x≧0), g(x)=x^2とすると
f(g(x))=x
f(g(x))'=1
一方
f(x)'=1/(2√x) 
ここでxにg(x)を代入すると
df(x)/dx | g(x) =1/(2x)
で異なります。
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{d/dg(x)}f(g(x)) = lim_{Δx→0} {f(g(x) + Δx) - f(g(x))}/ Δx



f(g(x))のg(x)による微分
という意味で
xによる微分ではありません

f(g(x) + Δx)

g(x)をΔxだけ変化させた時のf(g(x))の変化量なので
xの変化量ではありません
Δxという変数名を使ったからといってxの変化量になるわけではありません
g(x)をΔx増加するのだからΔxではなくΔgと書くべきです

(d/dx)f(g(x))=lim_{Δx→0} {f(g(x + Δx)) - f(g(x))}/ Δx

分母Δxはxをx+Δxに変化した時のxの変化量Δxなのです

{d/dg(x)}f(g(x)) = lim_{Δx→0} {f(g(x) + Δx) - f(g(x))}/ Δx

分母Δxはg(x)をg(x) + Δxに変化した時のg(x)の変化量なのです
g(x)がΔx増加したからといって
xがΔx増加するとはいえないのです

(d/dx)f(g(x))=lim_{Δx→0} {f(g(x + Δx)) - f(g(x))}/ Δx

分子はxをx+Δxに変化した時のf(g(x))の変化量でなければなりません
分母Δxはxをx+Δxに変化した時のxの変化量Δxでなければなりません
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本体からは外れますが、既に指摘があったように



f(g(x))'

と言う書き方が本来不適切です。これだとg(x)を微分したものをf(x)に代入したように見えてしまいます。

f(g(x))と言う関数を微分する事を表したいなら、全体を括弧でくくって

{f(g(x))}'

等と言った具合に書くべきです。
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f(g(x))'


と書くと
何を何で微分するかあいまいになるのです

(d/dx)f(g(x))=lim_{Δx→0} {f(g(x + Δx)) - f(g(x))}/ Δx

f(g(x))のxによる微分
という意味です

{d/dg(x)}f(g(x)) = lim_{Δx→0} {f(g(x) + Δx) - f(g(x))}/ Δx

f(g(x))のg(x)による微分
という意味で
xによる微分ではありません
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普通に合成関数の微分を考えると


微分の定義通りに
df(g(x))/dx=lim[Δx→0]{f(g(x+Δx))-f(g(x))}

ここで
u=g(x)
u+Δu=g(x+Δx)
とおくと
Δu=g(x+Δx)-g(x)
Δx→0 でΔu→0を使うと

df(g(x))/dx=lim[Δx→0]{f(u+Δu)-f(u)}/Δx
=lim[Δx→0]{(f(u+Δu)-f(u))/Δu・Δu}/Δx
=lim[Δx→0][{f(u+Δu)-f(u)}/Δu][g(x+Δx)/Δx]
=f′(u)g'(x)=f′(g(x))g'(x)

本当はΔu=0の時とか分けないといけませんが
省略!



f(x)=2x
g(x)=x²

f(g(x))=2x²
だから
d(2x²)/dx=4x

合成関数の微分の式で求めると
f'(x)=2、g'(x)=2x
f'(g(x))g'(x)=2・2x=4x
で一致

あなたの式では
f'(g(x))=2 で不一致。不合格!

fは2倍しているだけだから
g(x)を変えればf(g(x))はいかなる関数にもなりますが
あなたの式はfを微分しているだけだから
g(x)がどんな関数でも常に2を返すだけです。
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f′(x)=df(x)/dx



f'(g(x))=lim {f(g(x)+Δx)-f(g(x))}/Δx

というのは
f'(x)とg(x)の合成関数であって

合成関数 f(g(x)) の微分じゃない。

>左辺はあくまでも関数fの微分ですから

それは合成関数の微分じゃない。
関数f(g(x))の微分はfの微分では全く無い。
何故合成関数の微分なのにfを微分しようとするのか
不思議でならない。

微分の対象はあくまで合成関数です。
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もう一度普通の微分の場合を思い出して下さい。

話を簡単にするため分子の部分だけ書くと

f(x+⊿x)-f(x)…①

でしたよね。一方質問者様が提示している式は

f(g(x)+⊿x)-f(x)…②

ですよね。導関数を表す①式と②式では式の形が全然違います。こんな式が⊿fを表すわけがありません。
この回答への補足あり
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masterkoto 補足



u=g(x)
y=f(u)とおくとして
g(x) + Δx=u+Δx

これではuの位置を表す表現になってないでしょ!!
uの変化後の位置=元のuの位置+uの変化分
=u+Δu
ですから 
Δuの位置をΔxにしては意味が通らないのです
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先の回答を一部訂正。

関数gに関してxを微小量変化させるのはあくまでも

g(x+⊿x)

となります。そして

f(g(x+⊿x))

は前述のように、fの中に入っているgが微小量変化するので、それに引きずられる形でfも微小量変化します。
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