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sinθ≦θ の不等式がよく分かりません。これは常に成り立っているのですか? 証明して欲しいです。
またcosθ≦θやtanθ≦θでも成り立つのですか?

教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

「θ≧0 の範囲では」常に成り立っていますね。


証明は、 f(θ) = θ - sinθ とでも置いて、
  f(0) = 0, f’(θ) = 1 - cosθ ≧ 1 - 1 = 0 より
  θ ≧ 0 のとき f(θ) ≧ 0
でよいでしょう。
「より」の部分は、更に詳しく書けば
「平均値定理により」ということになります。

θ<0 の範囲については、No.1 にあるとおりです。
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三角関数を 単位円を使って 習いましたか。


sinθ≦0 は、θ が 第3象限と第4象限に ある時です。
cosθ≦0 は θ が 第2象限と第3象限 のとき、
tanθ≦0 は θ が 第2象限と第4象限 のときです。

三角関数のグラフを見れば 見たまんまです。
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3つとも、常には成り立たない


反例 
θ=-π (=-180°)では

sinθ=0だから
sinθ>θ

cosθ≦θ についても cos(-π)>-πに矛盾

この値では、tanθ>-π となり 3つ目の不等式も成り立たない
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f(θ) = sinθ - θ


は f(0) = 0
df(θ)/dθ = cosθ - 1 ≦ 0

つまり θ = 0 で f(θ)=0
単調減少だから
θ > 0 では sinθ - θ < 0 → sinθ < θ
θ < 0 では sinθ - θ > 0 → sinθ > θ

>cosθ≦θやtanθ≦θでも成り立つのですか?
同様に考えてみよう。まずはグラフを描いてみるのがいい。
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