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-1/(cosθ+isinθ)=cos(-θ)+isin(-θ)となるのは定義なのですか?それともこの計算式のみに成り立つのですか?

「-1/(cosθ+isinθ)=cos(」の質問画像
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A 回答 (6件)

0でない複素数 zについて、その逆数1/zはどうなるか、という話でしょう。



[1] zは0でないからzの共役複素数z*も0でない。1/zの分子分母にz*を掛け算してみれば
  1/z = z*/(zz*)
である。さて、zを実数a, bを使って
  z = a + i b
と書くとすると、
  z* = a - i b
  zz* = (a + i b)(a - i b) = a^2 + b^2 = |z|^2
なので、
  1/z = z*/(|z|^2) = (a - i b)/(a^2 + b^2)

[2] 一方、zを極形式で、実数rとθを使って
  z = r e^(iθ) = r (cosθ + i sinθ)
と表すと、
  1/z = 1/(r e^(iθ))
  = e^(-iθ)/r
  = (cos(-θ) + i sin(-θ)) / r
  = (cosθ - i sinθ) / r
である。

[3] ところで共役複素数z*は極形式ではどうなるかというと、
  1/z = z*/(|z|^2)
  |z|^2 = r^2
なのだから、
  z* = (r^2)/z =(r^2)(e^(-iθ)/r) = r e^(i(-θ))
ということ。

[4] で、ご質問は、[1]の見方をするなら
  a = cosθ, b = sinθ
の場合の話、[2]の見方をするなら
  r = 1
の場合の話。いずれにしても
  |z|^2 = r^2 = a^2 + b^2 = 1
であり、
  1/z = cosθ - i sinθ

 おそらく、[1][2]の両方の見方を自由に行き来できるようになれば、ご質問は自然に解消するんじゃないだろうか。
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この計算式にのみ成り立ちます。


-1/(cosθ+isinθ)=-1(cosθ-isinθ)/(cosθ+isinθ)(cosθ-isinθ)
=-(cos(-θ)+isin(-θ))/(cos^2θ+sin^2θ)=-cos(-θ)-isin(-θ)
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補足


複素数を極形式でかくと
c₁=r₁∠θ₁、c₂=r₂∠θ₂
r₁、r₂は非負の実数で複素数の絶対値(大きさ)
θ₁、θ₂は複素数の偏角

とすると
c₁=r₁(cosθ₁+isinθ₁)
c₂=r₂(cosθ₂+isinθ₂)

c₁c₂=r₁r₂{cos(θ₁+θ₂)+isin(θ₁+θ₂)}=r₁r₂∠(θ₁+θ₂)
c₁/c₂=(r₁/r₂){cos(θ₁-θ₂)+isin(θ₁-θ₂)}=(r₁/r₂)∠(θ₁-θ₂)

となるのは複素数の計算の基礎のキで
c₁/c₂の式で
r₁=r₂=1、θ₁=0、θ₂=θ
とすれば質問の式が直ちに求まります。

とても美しい式で、複素数の計算ではこれでもかと言うくらい
頻繁に使うので
いっぺん導出して頭に入れて置くことをお勧めします。。

三角関数の
・角度の加法定理
・cos²θ+sin²θ=1
とか使うと、割と簡単に導出出来ます。
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先頭のマイナス要らないです。


1/(cosθ+isinθ)
=(cosθ-isinθ)/{(cosθ+isinθ)(cosθ-isinθ)}
=(cosθ-isinθ)/(cos²θ+sin²θ)
=(cosθ-isinθ)
=cos(-θ)+isin(-θ)

定義ではなく恒等式
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その式を sin, cos の定義の一部にしている流儀は、まず無いでしょう。


通常、その式は、
(cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1, cos(-θ) = cosθ, sin(-θ) = sinθ
などの定理を用いて計算される、定理です。
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1/(cosθ+isinθ)=cos(-θ)+isin(-θ)


の誤り。

これは恒等式。

左辺の分子分母に(cosθ-isinθ)を掛ければ
(cosθ-isinθ)/1=cos(-θ)+isin(-θ)
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